Konservierte Größe eines relativistischen freien Lagrangians für einen Lorentz-Boost

Dies ist am einfachsten aus der Hamiltonschen Formulierung ersichtlich, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. Im Folgenden geben wir auch die nicht-relativistischen Ausdrücke zum Vergleich an, weil es interessant und etwas subtil ist, vgl. diesen Phys.SE-Beitrag und weil OP die analoge nicht-relativistische Frage früher gestellt hat.

I) Der Hamiltonoperator ist die kinetische Energie, dh die Energie minus der Ruheenergie$^1$

$$\begin{align} H~=~&p^0c-mc^2~=~\sqrt{{\bf p}^2c^2+m^2c^4}-mc^2\cr \longrightarrow&\quad \frac{{\bf p}^2}{2m}\quad\text{for}\quad c\to \infty.\end{align} \tag{1}$$

Die 3 Boost-Generatoren$B^i$sind Teil der 6 Lorentz-Generatoren

$$\begin{align}B^i~=~&\frac{J^{0i}}{c} ~=~tp^i-x^i\frac{p^0}{c}\cr \longrightarrow &\quad tp^i-mx^i\quad\text{for}\quad c\to \infty,\cr & i~\in~\{1,2,3\}.\end{align}\tag{2}$$ Die zugehörigen infinitesimalen Quasisymmetrietransformationen werden durch die Boosts erzeugt $$\begin{align}\delta x^i ~=~&\{ x^i , {\bf B}\cdot \delta {\bf v} \} ~=~t~\delta v^i - \frac{p^i}{p^0c}{\bf x}\cdot \delta {\bf v}\cr \longrightarrow &\quad t~\delta v^i\quad\text{for}\quad c\to \infty, \tag{3}\cr \delta p^i ~=~&\{ x^i , {\bf B}\cdot \delta {\bf v} \} ~=~\frac{p^0}{c}\delta v^i\cr \longrightarrow &\quad 0\quad\text{for}\quad c\to \infty,\tag{4}\cr \delta t~=~&0.\tag{5}\end{align}$$ Der Hamiltonsche Lagrangian $$\begin{align} L_H ~=~&{\bf p}\cdot \dot{\bf x} - H \cr \longrightarrow &\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x} - \frac{{\bf p}^2}{2m} \quad\text{for}\quad c\to \infty \end{align}\tag{6}$$ hat eine Quasisymmetrie $$\begin{align}\delta L_H~=~&\frac{d}{dt}\left( \frac{m^2c}{p^0} {\bf x}\cdot \delta {\bf v} \right)\cr \longrightarrow &\quad \frac{d}{dt}\left( m {\bf x}\cdot \delta {\bf v} \right) \quad\text{for}\quad c\to \infty. \end{align}\tag{7}$$ Man kann überprüfen, ob die entsprechenden Noether-Ladungen genau die Boost-Generatoren sind (2).

II) Die entsprechende Lagrange-Formulierung$^1$

$$\begin{align}L~=~&mc^2\left(1-\sqrt{1-\frac{\dot{\bf x}^2}{c^2}}\right)\cr \longrightarrow &\quad \frac{1}{2}m\dot{\bf x}^2\quad\text{for}\quad c\to \infty,\end{align}\tag{8}$$ hat infinitesimale Boost-Quasisymmetrie $$\begin{align}\delta x^i ~=~&t~\delta v^i - \frac{\dot{x}^i}{c^2}{\bf x}\cdot \delta {\bf v}\cr \longrightarrow &\quad t~\delta v^i\quad\text{for}\quad c\to \infty, \tag{9}\cr \delta t~=~&0,\tag{10}\end{align}$$ und konservierte Verstärkungsladungen $$\begin{align}B^i~=~&m\frac{t\dot{x}^i-x^i}{\sqrt{1-\frac{\dot{\bf x}^2}{c^2}}} \cr \longrightarrow &\quad m(t\dot{x}^i-x^i)\quad\text{for}\quad c\to \infty.\tag{11}\end{align}$$ Dies sei dem Leser als Übung überlassen. Eine Möglichkeit besteht darin, das 3-Impuls herauszuintegrieren${\bf p}$aus der Hamiltonschen Formulierung in Abschnitt I. Siehe auch diese verwandten Phys.SE-Beiträge und darin enthaltenen Links.

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$^1$Wir haben die Ruheenergie entfernt, die eine Konstante ist, dh eine totale zeitliche Ableitung, um zum nichtrelativistischen Grenzwert gehen zu können.