Das Wachstum des Fehlers bei der Approximation einer Differentialgleichung

Die exakte Lösung kann durch elliptische Integrale ausgedrückt werden , und man kann in diesem Fall tatsächlich das Wachstum des Fehlers berechnen. Als Formel allein wird es nicht besonders aufschlussreich sein. Vielleicht kann eine bessere Schätzung gefunden werden, indem die Differenz in der Schätzung des Zeitraums zwischen der tatsächlichen und der angenäherten Lösung aufgetragen wird . Wir können sehen, dass der Periodenfehler ungefähr quadratisch mit dem Anfangswinkel wächst.

Dies sagt uns nicht direkt die Wachstumsrate des Fehlers im Laufe der Zeit, aber man könnte argumentieren, dass, wenn der obige Fehler ist$E(\theta_0)=|\hat{\theta}(T(\theta_0))-\theta(T(\theta_0))|$für eine wahre Zeit$T(\theta_0)$dann sollte die Wachstumsrate ungefähr sein$E'(t)\approx E(\theta_0)/T(\theta_0)$. Dies wird eine ungefähr quadratische Funktion sein ($E(\theta_0)$) geteilt durch eine weitere ungefähr lineare Funktion für kleine Winkel ($T(\theta_0)$), so dass die Wachstumsrate im Laufe der Zeit für kleine Winkel ungefähr linear mit dem Anfangswinkel zunimmt.

Mit zunehmendem Winkel wird der Fehler immer schlimmer, zumal die tatsächliche Flugbahn bei Annäherung anders aussieht als eine Sinuskurvenschwingung$\theta\approx \pi$und die Periode geht gegen unendlich.