Wie hat Newton seine Gleichungen geschrieben?

Diese Frage betrifft zwei ziemlich unterschiedliche Punkte. Es beinhaltet Newtons Praktiken, nicht nur Ableitungen zu notieren, sondern auch die Funktionen (oder was auch immer), die er verwendet hat, um die Werte dieser Ableitungen anzugeben. In Fällen, in denen wir jetzt dy/dx = { irgendeine Funktion } schreiben könnten, bezieht sich die Frage auf Newtons Praktiken, um sowohl die linke als auch die rechte Seite auszudrücken. „Gleichungen“, wie wir sie jetzt notieren, waren nur eine von mehreren Möglichkeiten, wie er solche Zusammenhänge niederschrieb, wie die folgenden Beispiele und ihre Quellen zeigen.

Der Kommentar von Michael E2 zeigt eine der Möglichkeiten (Fluktuationsnotation), auf die Newton eine Ableitung anzeigte, für die wir jetzt dy/dx schreiben könnten. Darüber hinaus verwendete Newton auch andere Methoden, um Ableitungen oder Änderungsraten anzugeben, nicht alle bezogen sich auf die Notation von Fluxionen, und einige von ihnen beinhalteten überhaupt keine Symbole.

Eine bemerkenswerte Art von Beispiel findet sich zB in Proposition 34 (Buch 3) der Principia . Hier unternahm Newton die Aufgabe, „die stündliche Variation der Neigung der Mondbahn zur Ebene der Ekliptik zu finden“. Newton hat eine ziemlich komplizierte geometrische Spezifikation für die Größe dieser Variation gegeben: Sie ergibt übersetzt ein dreifaches Produkt von Sinus/Cosinus. Newton fuhr dann (in Proposition 35) fort, diese Größe (eine vereinfachte Version davon) geometrisch in Bezug auf die Zeit zu integrieren, um ein Ergebnis zu erzeugen, das die periodische Variation der tatsächlichen Neigung der Umlaufbahn zu jeder Zeit zeigt (genau genommen ihre Differenz von die mittlere Neigung, die hier die Rolle der willkürlichen Konstante bei der Integration spielt).

Aus all dem, insbesondere der Integration, ist klar, dass Newtons „Stundenvariation der Neigung“ das bedeutete, was wir jetzt als di/dt schreiben könnten, wobei i die Neigung und t die Zeit ist. PS Laplace hat es später so behandelt. Als Laplace also dieselbe Passage in Newton betrachtete, „übersetzte“ er Newtons geometrischen Ausdruck für den Wert der „Stundenvariation“ in eine trigonometrische Formel (siehe PS Laplace, Traite de Mecanique Celeste, Band 5 (1825), Livre XVI, ch.2, art.3 auf S.375, Diskussion der Neigung ab S.379; unter ( https://books.google.com/books?&id=UdZGAQAAMAAJ )). Laplace entwickelte dann sein Integral (was er mit einer breiteren Allgemeingültigkeit als Newtons Behandlung tat, die vor der Integration eine gewisse Vereinfachung beinhaltete, aber das tut es nicht

Das bisher gegebene Beispiel zeigt, wie Newton für die Größe der Änderungsrate, an der er interessiert war, eine geometrische Definition verwendete (die übersetzbar war – und später übersetzt wurde – in trigonometrische Notation). In anderen Beispielen verwendete er algebraische Reihen, aber Newtons Verwendung algebraischer Reihen scheint hauptsächlich aus einem früheren Teil seiner Karriere zu stammen. Als Newton Serien verwendete, unterschied sich seine Notation für die Begriffe manchmal nicht allzu sehr von dem, was heute geschrieben werden könnte, mit Ausnahme von Details wie aaa für$a^3$usw. Siehe beispielsweise The Mathematical Papers of Isaac Newton , Band II: 1667–1670, (Hrsg.) DT Whiteside (1968), ( https://books.google.com/books?id=AQ3tveOwseoC ), wobei Seite 206 ff . geben lateinische und englische Versionen von Newtons „Über die Analyse durch Gleichungen mit unendlicher Anzahl von Termen“ und zeigen einige seiner Praktiken zum Aufschreiben solcher Reihen.

In 'Correspondence of Isaac Newton' vol.1 at p.52 (24. Dez. 1670, John Collins an James Gregory) berichtet Collins unter anderem von Newton, Newtons Reihe für den Arkussinus. Eine längere Beschreibung, wie Newton dies erhalten hat (durch Term-für-Term-Integration der Reihen, die durch Binomialentwicklung von 1 /$\sqrt(1-x^2)$) wird zum Beispiel (jedoch mit modernisierter Notation) in „The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue“, von William Dunham (2005), auf S. 17 gegeben. (Newtons Zweck bei der Verwendung der Reihe scheint zumindest in diesem Fall nicht gewesen zu sein, „eine bessere Annäherung zu erzielen“, sondern darin, einen Ausdruck, der in seiner jetzigen Form praktisch unlösbar war, in eine leicht integrierbare Form umzuwandeln.)

(John Collins war ein bekannter mathematischer „Intelligenz“ aus Newtons Zeit, der eine Reihe von Newtons (oft algebraischen) Erfindungen sah und sie seinen Korrespondenten meldete. Collins verstand später, dass die Aussichten schlecht schienen, mehr Mathematik zu bekommen, insbesondere keine Zweifel in algebraischer Form, von Newton, weil Newton (und Barrow) damals „anfingen zu denken, dass mathematische Spekulationen zumindest schön und trocken, wenn nicht sogar etwas unfruchtbar wachsen“ (Isaac Newton Corresp Bd Collins an James Gregory)). Der Brief erwies sich als prophetisch, da Collins danach nie wieder etwas von Mathematik von Newton hörte und Newton sich mehr der Sprache der Geometrie zuwandte, um seine mathematischen Untersuchungen auszudrücken. Die Gründe für Newton'Seine (angeblich) wachsende Unzufriedenheit mit der Art von Mathematik, mit der er sich bis dahin beschäftigt hatte, verdient vielleicht eine eingehendere Untersuchung.)