Existenz und Eindeutigkeit der Newtonschen Gesetze

Ich lese Arnolds Buch über klassische Mechanik. Das ist eine Art dumme Frage, aber ich habe Probleme, seine Erklärung für die Existenz und Einzigartigkeit der Newtonschen Gesetze zu verstehen. Auf Seite$8$er diskutiert Newtons Gesetz$\textbf{x}''=\textbf{F}(\textbf{x},\textbf{x}',t)$und wie aus einem grundlegenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz folgt, dass eine eindeutige Lösung existiert$\textbf{x}$für einige Zeit. Aber ich habe einige Probleme, dies zu sehen:

Ich kenne das Theorem, auf das er sich für nicht autonome Systeme bezieht: Wenn$J\subseteq\mathbb{R}$ist geöffnet u$U\subseteq\mathbb{R}^n$ist geöffnet u$V:J\times U\to\mathbb{R}^n$eine (glatte) vektorwertige Funktion ist, dann für alle$\textbf{y}_0\in\mathbb{R}^n$und klein genug Zeit gibt es eine eindeutige (glatte) Lösung$\textbf y$mit$\textbf{y}(0)=\textbf{y}_0$.

Jetzt dachte ich zuerst, er meinte nur ersetzen$\textbf{y}\mapsto\textbf{x}'$und verwenden Sie den obigen Satz zweimal (lösen Sie zuerst nach$\textbf{x}'$dann für$\textbf x$): Dann hätten Sie$(\textbf{x}')'=\textbf{F}(\textbf{x},\textbf{x}',t)$. Das geht aber nicht, weil$\textbf{F}$ist auch eine Funktion von$\textbf x$. Kann jemand bitte erklären?