Wer löste zuerst den klassischen harmonischen Oszillator?

Es wurde von Huygens im Horologium Oscillatorum (1673) "gelöst" . Die Schreckzitate sind da, weil er die Gleichung nie aufgeschrieben hat und sogar Newtons Gesetze noch nicht explizit formuliert wurden. Huygens betrachtete die Pendelbewegung und kannte für einfache Fälle das „ Gesetz der Erhaltung der lebendigen Kraft “ (mechanischer Energie), wie Bernoullis es später nannte, siehe Mach, History and Root of the Principle of the Conservation of Energy, S. 30 . Modern ausgedrückt wäre dies das erste Integral oder Quadratur der entsprechenden Bewegungsgleichung. Damit konnte er die Periodenformel für Pendelbewegungen mit kleinen Amplituden ableiten,$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$in moderner Notation, die er ebenfalls nicht verwendete. Hier ist aus den akustischen Ursprüngen der harmonischen Analyse von Darrigol, S. 351 :

"Die erste Andeutung, dass harmonische (sinusähnliche) Bewegungen eine grundlegende Rolle in der Akustik spielen, findet sich in Christiaan Huygens Theorie der musikalischen Saiten. In seinem berühmten Horologium Oscillatorium von 1673 zeigte Huygens, dass die Pendelbewegung eines Körpers, der auf einer Zykloide hinabgleitet, harmonisch und isochron ist. Zu dieser Zeit verstand er auch, dass die für diese Bewegung verantwortliche Kraft proportional zu der Entfernung war, die der Körper vom Gleichgewichtspunkt zurücklegte. Wahrscheinlich bemerkte er, dass ein ähnlicher Sachverhalt bei einer gespannten, schwerelosen elastischen Saite mit einer Masse in der Mitte auftritt, und leitete die Schwingungsfrequenz als Funktion von Spannung, Länge und Masse ab. Die Begründung implizierte harmonische Schwingungen für die belastete Saite. Er skizzierte auch eine Verallgemeinerung auf eine mit mehreren Massen beladene Saite,"

Taylor, der 1713 schwingende Saiten studierte, profitierte von Newtons Mechanik. Trotzdem schrieb er die Gleichung nicht auf, sondern verwendete Pendelanalogien und erkannte, dass die Sinusform eine Lösung für die Saite war. Johann Bernoulli folgte Taylors Beispiel und stellte Saiten als verbundene Massen dar. In einem Brief von 1727 an seinen Sohn Daniel schrieb er explizit die harmonische Oszillatorgleichung für jeden und integrierte sie analytisch.

Im Druck ist die erste moderne Behandlung des harmonischen Oszillators Eulers De Novo Genere Oscillationum (vorgestellt 1738-9, veröffentlicht 1750) . Er löste in Quadraturen nicht nur die Gleichung des freien Oszillators, sondern auch des durch harmonische Kraft angetriebenen Oszillators. Dies war die erste analytische Behandlung der Resonanz, siehe Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Bd. 2, S. 479-482 :

„ In seinem Versuch, die schwingende Saite zu behandeln, betrachtete John Bernoulli in einem Brief von 1727 an seinen Sohn Daniel und in einer Abhandlung die schwerelose elastische Saite als belastet$n$gleiche und gleichmäßig verteilte Massen ... John erkannte, dass die Kraft auf jede Masse wirkt$-K$mal seine Verschiebung, und gelöst$\frac{d^2x}{dt^2} = - Kx$, wodurch die Gleichung der einfachen harmonischen Bewegung durch analytische Methoden integriert wird .

[...] 1728 begann Euler, Gleichungen zweiter Ordnung zu betrachten. Sein Interesse an diesen wurde teilweise durch seine Arbeit in der Mechanik geweckt. Er hatte sich beispielsweise mit der Pendelbewegung in widerstrebenden Medien beschäftigt, die zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung führt... In einer Arbeit von 1739 griff Euler die Differentialgleichungen des harmonischen Oszillators auf$\ddot{x} + Kx = 0$und die erzwungene Schwingung des harmonischen Oszillators$M\ddot{x} + Kx = F\sin(\omega t)$. Er erhielt die Lösungen durch Quadraturen und entdeckte (wirklich wiederentdeckt, da andere es früher gefunden hatten) das Phänomen der Resonanz ".