Warum fehlt die Infinitesimalrechnung in Newtons Principia?

Hier gibt es zu unterschiedliche Probleme. Die Methode der Fluxionen und Fluente, Newtons Version des Kalküls, ist in Newtons erhaltenen Papieren reichlich vertreten, beginnend mit 1669 On Analysis by Equations with an Infinite Number of Terms , das als Brief an John Collins gesendet und von ihm an mehrere Korrespondenten verbreitet wurde, darunter Leibniz. Die punktierte Kurzschrift wurde erst 1691 nach der Veröffentlichung von Principia (1687) erfunden, und Newton veröffentlichte 1693 seinen Bericht über Analysis. Davor waren seine Methoden in Europa hauptsächlich aus Briefen bekannt, die über Collins und Oldenburg verschickt wurden.

Warum er in Principia keine Analysis verwendet hat, ist umstritten. Zunächst einmal ist nicht klar, ob die Infinitesimalrechnung in ihrer ursprünglichen umständlichen Form zu größerer Klarheit oder kürzeren Beweisen geführt hätte. Es könnte stattdessen die Schwierigkeit, neue Mechanik zu verstehen, durch die Schwierigkeit verstärken, neue Mathematik zu verstehen. Es gibt auch Hinweise darauf, dass Newton Principia in der Form ausgearbeitet hat, in der sie geschrieben wurden, euklidisch, anstatt sie aus einer Kalkülversion zurückzuübersetzen, wie er später behauptete. Whiteside gibt eine aufschlussreiche Diskussion.

Obwohl diese Frage und die Antworten inzwischen etwas älter sind, schlage ich vor, dass es wichtig ist, den mythischen Charakter der Annahme, die dieser Frage zugrunde liegt, nicht zu übersehen. Die Frage setzt ausdrücklich voraus, dass „der Principia Kalkül fehlt “. Aber das stimmt nicht: Es fehlt nicht, dass nicht nur sachkundige Kommentatoren vom 17. bis zum 21. Jahrhundert den Inhalt der Infinitesimalrechnung im Werk klar erkannt haben, sondern man kann auch direkt auf viele Argumente und Demonstrationen im Werk selbst so eindeutig verweisen wenden Prinzipien an, die zum Gebiet der Infinitesimalrechnung gehören.

Was in den Principia praktisch fehlt , ist eine ganz andere Sache: Es geht hauptsächlich um Notation. Diesbezüglich lohnt es sich, die Einschätzung des verstorbenen Clifford Truesdell im Auge zu behalten, dass "... ein moderner Mathematiker, der denen, die Notationen mit Begriffen verwechseln, wenig Respekt entgegenbringt, die Principia als ein Buch voller Theorie und Anwendung des Infinitesimalen findet Infinitesimalrechnung." (Essays in the History of Mechanics, 1968, 99 (an Nr. 4)).

Truesdell war mit seiner Ansicht nicht allein. Bereits 1696 erschien beispielsweise das Buch „Analyse des infiniment petits“ (Infinitesimalanalyse) des Marquis de l'Hospital (oder l'Hôpital): Dies war eine Darstellung der Leibnizschen Form der Differentialrechnung. In seinem Vorwort heißt es nach gebührendem Lob auf Leibniz (in Übersetzung aus dem Französischen): „... Anerkennung gebührt auch dem gelehrten M. Neuwton, wie M. Leibnis selbst (im Journal des Sçavans vom 30. August 1694) hat anerkannt: dass auch er" [dh Newton] "etwas Ähnliches wie die Differentialrechnung gefunden hatte, wie aus dem ausgezeichneten Buch mit dem Titel "Philosophia naturalis principia Mathematica" hervorgeht, das er uns 1687 schenkte und das fast alles von dieser Rechnung stammt "['lequel est presque tout de ce calcul']. "Jedoch,

Kommen wir nun zu detaillierteren mathematischen Überlegungen: Eine Studie von Bruce Pourciau (2001) in Historia Mathematica 28, 18-30 untersucht „Newtons Verständnis des Grenzwertkonzepts durch eine Studie bestimmter Beweise, die in den Principia erscheinen “. Pourciau stellt fest, „dass Newton, nicht Cauchy, der erste war, der ein Epsilon-Argument präsentierte, und dass Newtons Verständnis der Grenzen im Allgemeinen klarer war als allgemein angenommen. Wir beobachten Newtons Unterscheidung zwischen zwei leicht zu verwechselnden Eigenschaften, nämlich f/g – > 1 und f - g --> 0, [und] wir lösen ein Problem, das durch eine falsche Übersetzung entstanden ist, die in Cajoris Überarbeitung von Mottes Originalübersetzung erscheint, ...". Pourciau weist in den Principia besonders auf drei wichtige Lemmas hin, „Lemma I über die Grenze einer Differenz [ sic , dies muss ein Ausrutscher für ‚Verhältnis‘ sein, das in Lemma 1 vorkommt], Lemma II über die Existenz des Integrals und Lemma XI über die zweite Ableitung“ und diskutiert, wie „ ihre Aussagen und Beweise offenbaren am deutlichsten Newtons Verständnis des Grenzprozesses." Aber „um diese Lemmata zu lesen“, sagt Pourciau, „erfordert eine doppelte Übersetzung, nicht nur eine erste Übersetzung aus dem lateinischen Original ins Englische (für die wir uns auf [IB Cohens Übersetzung der Principia von 1999] stützen), sondern dann eine zweite Übersetzung auch, denn die Lemmata kommen in den Principia verpackt zu uns's einzigartige Mischung aus euklidischer Geometrie und Grenzen, eine Art geometrischer Kalkül, und wir können nicht herausfinden, was die Lemmas wirklich sagen, ohne etwas zu entpacken. Aber jede Übersetzung stört die Bedeutung, und wir müssen große Sorgfalt darauf verwenden, diese Störung so gering wie möglich zu halten, um Newtons ursprüngliche Absicht so weit wie möglich zu bewahren.“ So beginnt Pourciau zu zeigen, dass die Notation der Infinitesimalrechnung, wie wir sie heute kennen, in den Principia weitgehend fehlte , ist der Inhalt tatsächlich zu finden, ausgedrückt in einer geometrischen Form der Infinitesimalrechnung, oft basierend auf Grenzen von Verhältnissen verschwindend kleiner Größen.

Auch bei einer solchen Frage sollte man direkt zur Quelle gehen. Unmittelbar nach Newtons Definitionen und Bewegungsgesetzen der Eröffnungsabschnitt 1 in Principia's Book 1 enthält eine Reihe von Lemmata über "die Methode der ersten und letzten Größenverhältnisse, mit deren Hilfe wir die folgenden Sätze demonstrieren". Die „ersten“ und „letzten“ Verhältnisse werden als die Grenzen von Größenverhältnissen erklärt, die entweder von Null anwachsen („entstehend“) oder auf Null abfallen („verschwinden“). Zu diesen Lemmata gehören die bereits zitierten von Pourciau (2001). Dann finden wir im Hauptteil der Arbeit unter anderem Sätze 1, 6, 10, 11: In Satz 1 geht das Argument weiter, indem eine endliche Reihe von Dreiecken zusammengesetzt wird, die durch ihre gleichen Flächen die Bewegungsinkremente ausdrücken, die nach einer endlichen Reihe diskreter Impulse auftreten , dann schreibt Newton: „Jetzt lass die Zahl dieser Dreiecke vergrößert und ihre Breite ins Unendliche verringert werden“, so drückt er ein Argument der Grenzen aus, das eindeutig zum Gebiet der Infinitesimalrechnung gehört, und zieht seine Schlussfolgerung über eine gekrümmte Bahn und ihre Beziehung zu einer kontinuierlichen Kraft, die beide durch Bezugnahme auf die Ergebnisse in der Grenze eines Prozesses ausgedrückt werden, der eine unendlich wachsende Zahl beinhaltet von (einzeln) unendlich abnehmenden Elementen. Es gibt auch Argumente für Grenzen in den erwähnten späteren Sätzen, manchmal kürzer ausgedrückt, und es kann locker sein, wie wenn Newton zuerst von einem geometrisch definierten "Körper" schreibt, der durch ein Verhältnis in ausgedrückt wird welcher der Faktoren sowohl im Zähler als auch im Nenner von einem Abstand PQ abhängt, und dann von „der Größe, die [der Festkörper] letztendlich annimmt, wenn die Punkte P und Q zusammenfallen.“ Darauf weisen sowohl der Kontext als auch das „letztendlich“ hin mit dem Satz 'wenn die Punkte ... zusammenfallen', bezieht sich Newton auf die Grenze der Verhältnisse, die entwickelt werden, wenn sich die Punkte einander nähern, in der Weise, die im einleitenden Abschnitt über die 'Methode der ersten und letzten Verhältnisse' diskutiert wurde.

Es ist erwähnenswert, dass die Notation von Fluxionen nur eine Notationsform war, im Wesentlichen die jüngste unter Newtons verschiedenen Ausdrucksformen seiner Ideen auf diesem Gebiet. Er scheint der Ansicht gewesen zu sein, dass eine bestimmte Notation im Vergleich zu der Idee, „die ohne sie sein kann“, relativ unwichtig war. Man kann sicherlich über Newtons Einschätzung und Wahl der Notation und Darstellung streiten, aber seine Ideen und Arbeiten, die sie anwenden, sind in den verschiedenen zitierten Quellen belegt und in den bereits angegebenen Referenzen diskutiert.

Kurz gesagt, die Infinitesimalrechnung „fehlt“ eindeutig nicht in den Principia : und obwohl diese falsche Vorstellung zu einem von vielen Mythen über Newton geworden ist, sagt sie mehr über die Geschichte der Kommentatoren und Kommentatoren aus als über Newtons eigentliche Arbeit.

Newton wollte seine Gravitationstheorie so darlegen, dass die Menschen sie akzeptieren würden. Aber seine neuen Rechenmethoden waren noch nicht allgemein akzeptiert oder bekannt und würden daher Zweifel an seiner Physik aufkommen lassen. Aus diesem Grund verwendete Newton die klassische Geometrie, die mathematische Sprache der alten Meister, um zu vermeiden, dass Menschen seine Ideen aufgrund seiner Verwendung von Analysis angreifen.

Newton war sich der logischen Schwierigkeiten seines Kalküls bewusst und bemühte sich im Laufe seiner Karriere erfolglos, das „ultimative Verhältnis“ des Differenzenquotienten zu erklären. Er wollte seine Gravitationstheorie keinen Angriffen auf der Grundlage dieser Probleme aussetzen.

Hier gibt es etwas mehr Hintergrund , der die Idee unterstützt, dass Newton die logischen Probleme mit seinem Kalkül verstand und seine Physik auf Mathematik stützen wollte, die jeder glauben würde.

Der andere Grund war, seine Arbeit bewusst zu erschweren. Wie Newton sagte: Um nicht von kleinen Mathematikern geködert zu werden, habe ich die Principia absichtlich abstrakt gemacht; aber dennoch für fähige Mathematiker verständlich ...

Wir stellen nebenbei fest, dass Newton, wenn er heute zurückkäme und mit dem Internet bekannt gemacht würde, gleich zu Hause wäre. Er duldete keine Dummköpfe, ob gern oder nicht, und konnte mit den Besten von ihnen flammen.