Über die "Mehrdeutigkeit" von expliziter und impliziter Funktion einer Variablen

Sie verwechseln den Unterschied zwischen einer Funktion und einer anderen Funktion, die aus der ersten Via-Komposition erhalten wird (und wie in der Physik üblich, überladen Sie das Symbol$x$). Nur damit wir absolut klar sind, eine Funktion besteht aus 3 Datenteilen$(f,A,B)$, typisch geschrieben$f:A\to B$, Wo$A$heißt Domäne,$B$heißt Zielraum/Kodomäne und$f$ist die "Regel", die uns sagt, wie Elemente von$A$werden Elementen von zugeordnet$B$(Ich werde hier nicht in den Kaninchenbau der Mengenlehre gehen). Wenn sich eine dieser Daten ändert, sagen wir, dass wir eine andere Funktion haben. Auch wenn die "Regel" dieselbe ist, aber die Domäne eine andere ist, sagen wir, wir haben eine andere Funktion.

Angenommen, wir haben jetzt zwei Funktionen$f:A\to B$Und$g:B\to C$, dann können wir ihre Zusammensetzung bilden$g\circ f:A\to C$, nämlich durch Zuordnung von jedem$a\in A$Zu$g(f(a))\in C$. Nun, es sei denn,$A=B$Und$f=\text{id}_A$ist die Identitätsfunktion, die beiden Funktionen$g$Und$g\circ f$sind KOMPLETT VERSCHIEDENE SACHEN . Klar, das Komposit$g\circ f$möglicherweise bezogen wurden$g$, aber das bedeutet nicht, dass es gleich ist$g$. Ansonsten ist es so, als würde man sagen, nur weil die Erde und der Mond rund sind, sind sie beide dasselbe ... nur völliger Unsinn.

Jetzt werde ich den Begriff Hamiltonian vermeiden, weil dieser Begriff reserviert ist, wenn wir an eine "Funktion von Ort und Impuls" denken, während Sie Dinge als "Funktionen von Ort und Geschwindigkeiten" geschrieben haben. Aus diesem Grund verwende ich stattdessen den Begriff „Energie“. Lassen Sie mich alle vorhandenen Funktionen explizit aufschreiben (vorausgesetzt, wir modellieren$n$-dimensionale Bewegung):

• Zuerst haben wir eine Funktion$V:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$, wobei wir dies physikalisch so betrachten, dass es für jede "Position" sagt$x\in\Bbb{R}^n$,$V(x)$ist die potentielle Energie bei$x$.
• Als nächstes haben wir eine Funktion$E:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$definiert als$E(x,v):=\frac{m\|v\|^2}{2}+V(x)$. Physikalisch könnten wir dies als die mechanische Energie eines Teilchens an der Position betrachten$x$mit Geschwindigkeit bewegen$v$, in Gegenwart der Potentialfunktion$V$.
• Angenommen, wir haben eine Kurve$\gamma:\Bbb{R}\to\Bbb{R}^n$. Physisch können wir uns das gerne als Sprichwort für jeden vorstellen$t\in\Bbb{R}$,$\gamma(t)$ist die Position eines Teilchens zur Zeit$t$. Typischerweise verwenden Physiktexte den Buchstaben$x$anstelle von$\gamma$; Ich bin gegen eine solche Schreibweise für Anfänger, weil sie das Symbol völlig überfrachtet$x$und hat in verschiedenen Gleichungen unterschiedliche Bedeutungen, was letztendlich nur für allerlei (vermeidbare) Verwirrung sorgt.

Aus diesen gegebenen Daten können wir eine Komposition bilden$\mathcal{E}_{\gamma}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$, gegeben von$\mathcal{E}_{\gamma}=E\circ (\gamma,\gamma')$, oder genauer gesagt, für jeden$t\in\Bbb{R}$,

Was du in deinem Post gemacht hast ist, dass du ständig alles so geschrieben hast$H$(was, wie ich oben erwähnt habe, wirklich eine sein sollte$E$... aber das ist nur ein kleines Problem), ohne die Argumente der Funktion auszuschreiben, und als Ergebnis verwechseln Sie verschiedene Funktionen vollständig

Jetzt natürlich$\mathcal{E}_{\gamma}$Und$E$sind ganz andere Funktionen:$\mathcal{E}_{\gamma}$hat Domäne$\Bbb{R}$während$E$hat Domäne$\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n$. In der Physik sagen wir$\mathcal{E}_{\gamma}$„ist eine Funktion der Zeit“, wohingegen „$E$ist eine Funktion von Ort und Geschwindigkeit". In diesem Zusammenhang heißt es:$E$hängt "implizit" von der Zeit ab, ist nur eine verwirrende Aussage.

Ist das nicht zweideutig? Ich meine, der erste Hamiltonian ist derselbe wie der zweite, aber einer ist explizit eine Funktion der Zeit und der andere nicht

Wenn man jetzt so etwas sagt wie „potenzielle Energie hängt explizit von der Zeit ab“, dann meint man damit, dass wir eine Funktion haben$V_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$. Die Interpretation davon ist die für jeden$x\in\Bbb{R}^n,t\in\Bbb{R}$,$V_1(x,t)$ist die potentielle Energie am Ort$x$und Zeit$t$. Entsprechend kann man eine Funktion einführen$E_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definiert als

• Also, um noch einmal zu vergleichen,$V:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$Und$V_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$sind ganz andere Funktionen. Wir sagen normalerweise "$V_1$hängt explizit von der Zeit ab", weil seine Domäne den zusätzlichen Faktor von zulässt$\Bbb{R}$.

• Ebenfalls,$E:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$Und$E_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$sind ganz andere Funktionen. Wir sagen$E_1$"hängt explizit von der Zeit ab", weil seine Domäne das Extra hat$\Bbb{R}$Faktor.

• Gegeben eine Kurve$\gamma:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$Wie oben können wir eine neue Funktion einführen$\mathcal{E}_{1,\gamma}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$jeweils definiert$t\in\Bbb{R}$als$\mathcal{E}_{1,\gamma}(t):= E_1(\gamma(t),\gamma'(t),t)$. Hier,$\mathcal{E}_{\gamma}$Und$\mathcal{E}_{1,\gamma}$beide haben dieselbe Domäne und denselben Zielbereich$\Bbb{R}$, aber es sind unterschiedliche Funktionen, weil die "Regel" offensichtlich anders ist.

Um es noch einmal zu wiederholen, Sie sollten verschiedene Funktionen nicht verwechseln (insbesondere wenn sie durch Komposition erhalten werden), wie z$E$vs$\mathcal{E}_{\gamma}$, oder$E_1$vs$\mathcal{E}_{1,\gamma}$. Außerdem bedeutet die explizite Abhängigkeit von der Zeit einfach, dass der Definitionsbereich der Funktion „einen zusätzlichen Faktor von hat$\Bbb{R}$".