Ein umständliches Integral

Ich versuche, die Variationsrechnung selbst zu studieren, und beim Lösen eines physikalischen Problems der Zykloidenbewegung bin ich auf ein Integral gestoßen, von dem ich nicht weiß, wie ich es vollständig lösen soll. Ich weiß aus dem Lehrbuch, dass die endgültige Antwort sein sollte π A G aber ich komme nicht weiter:

T = A G ∫ θ 0 π 1 − cos ⁡ θ cos ⁡ θ 0 − cos ⁡ θ D θ

Ich habe die Variable in geändert θ = π − 2 a :

T = A G ∫ π − θ 0 2 0 1 + cos ⁡ ( 2 a ) cos ⁡ θ 0 + cos ⁡ ( 2 a ) ( − 2 D a )

Jetzt mit cos ⁡ ( 2 a ) = 2 cos 2 ⁡ a − 1 Und cos ⁡ ( 2 a ) = 1 − 2 Sünde 2 ⁡ a Ich habe:

T = A G ∫ π − θ 0 2 0 cos ⁡ a cos ⁡ θ 0 + 1 − 2 Sünde 2 ⁡ a ( − 2 D a )

Jetzt habe ich die Variable geändert u = Sünde ⁡ a :

T = − 2 A G ∫ Sünde ⁡ ( π − θ 0 2 ) 0 D u cos ⁡ θ 0 + 1 − 2 u 2

Versuchen, eine zu bekommen arkosh wird mir nicht helfen, denke ich, wie gehe ich vor? Vielen Dank!

Antworten (2)

Hier ist eine andere Methode: Multiplizieren 1 + cos ⁡ θ und Substituieren u = cos ⁡ θ schreiben

T = A G ∫ − 1 cos ⁡ θ 0 D u ( cos ⁡ θ 0 − u ) ( u + 1 ) .

Nun berufen wir uns auf die folgende allgemeine Beobachtung mit P = − 1 Und Q = cos ⁡ θ 0 :

Überwachung. Lassen P < Q und schreibe C = P + Q 2 Und R = Q − P 2 . Dann der obere Halbkreis des Radius R zentriert bei ( C , 0 ) ist durch die Gleichung gegeben

j = R 2 − ( X − C ) 2 = ( Q − X ) ( X − P ) .

Somit ist das Bogenlängendifferential entlang des oberen Halbkreises erfüllt

D S = 1 + ( j ' ) 2 D X = R ( Q − X ) ( X − P ) D X .

Das sagt das aus

(*) ∫ P Q D X ( Q − X ) ( X − P ) = [Länge des oberen Halbkreises] R = π .

Natürlich, (*) kann rein rechnerisch hergeleitet werden. Motiviert durch die obige geometrische Beobachtung können wir ersetzen X = C + R u = P + Q 2 + Q − P 2 u schreiben

∫ P Q D X ( Q − X ) ( X − P ) = ∫ − 1 1 D u 1 − u 2 = [ arcsin ⁡ ( u ) ] − 1 1 = π .

Ohne alle Details zu überprüfen, scheinen Ihre Schritte korrekt zu sein.

Nun ist das Integral ganz am Ende von der Form

∫ 1 A 2 − B 2 X 2 D X
die Sie über eine einfache Substitution mit dem tabellarischen Integral berechnen können
∫ 1 1 − X 2 D X = arcsin ⁡ ( X ) + C

ich gelange − 2 A G [ A R C S ich N ( 2 u C Ö S θ 0 + 1 ) ] Sünde ⁡ ( π − θ 0 2 ) 0 , immer noch nicht da.
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