Wie findet man das Integral von tanx−secxtanxtan⁡x−sec⁡xtan⁡x\tan x - \sec x\tan x?

Du hast keinen Fehler gemacht.

Ich werde es ein bisschen erklären, um klarer zu sein.

Der erste Teil ist richtig für

$$\int \tan(x)\ \text{d}x = -\ln|\cos(x)| + c_1$$ und das ist einfach (Sie sehen nur die Tangente als Sinus/Kosinus, wenn Sie erkennen, dass sie die Form hat$f'(x)/f(x)$(mit Minuszeichen), was nichts anderes als eine logarithmische Ableitung ist.

Zum zweiten Term:

$$\int \sec(x)\tan(x)\ \text{d}x = \sec(x) + c_2$$

Tatsächlich per Definition:$\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$

Wir haben

$$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \sec(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \equiv \dfrac{1}{\cos(x)}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)$$

Und natürlich verschwand die Konstante in der Ableitung.

Du hast keinen Fehler gemacht.

$$\tan x-\sec x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac1{\cos x}\frac{\sin}{\cos x}$$ Wenn wir zuerst versuchen, das Integral von zu machen$\tan x$: $$I_1=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx$$ $u=\cos x\Rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x}$und so: $$I_1=-\int\frac1udu=-\ln|u|+C_1=-\ln|\cos x|+C_1=\ln|\sec x|+C_1$$ und jetzt für$\sec x\tan x$: $$I_2=\int\frac{\sin x}{\cos^2x}dx$$ $$=-\int\frac1{u^2}du=\frac1u+C_2=\frac1{\cos x}+C_2=\sec x+C_2$$ und so: $$\int\tan x-\sec x\tan xdx=\ln|\sec x|-\sec x+C_3$$

$$\log|\sec(x)|=-\log|\cos(x)|$$ Wenn wir die Betragszeichen entfernen, dann ist dies offensichtlich: $$\begin{align} \log\left(\cos(x)^{-1}\right)=-\log(\cos(x)) \, . \end{align}$$ Dies gilt immer noch für$\log|\sec(x)|$Und$-\log|\cos(x)|$. Dies kann durch die Feststellung überprüft werden$\log|\sec(x)|$ist gleich$\log\left(\sec(x)\right)$oder$\log\left(-\sec(x)\right)$, und wann immer$\sec$ist positiv, ist es auch$\cos$.