Die δδ\delta-Notation in Goldsteins Klassischer Mechanik zur Variationsrechnung

In Goldsteins klassischer Mechanik (Seite 36) führt er in die Grundlagen der Variationsrechnung ein und setzt sie effektiv für die Euler-Lagrange-Gleichungen ein. Es gibt jedoch einen Schritt, in dem die$\delta$Notation ist definiert:

$$\delta y\equiv \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)\text d\alpha,$$

in welchem$\alpha$ist der Parameter, der bei der Pfadänderung verwendet wird:

$$y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x),$$

$x$ist effektiv ein verallgemeinerter Zeitparameter. Diese beiden Definitionen sind in Ordnung, jedoch wird diese Notation dann in das Aktionsintegral eingeführt:

$$\frac{\text dJ}{\text d\alpha}=\int^{x_2}_{x_1}\left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial f}{\partial \dot y}\right)\frac{\partial y}{\partial \alpha}\text dx,$$

was wird:

$$\delta J=\int^{x_2}_{x_1}\left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial f}{\partial \dot y}\right)\delta y\text dx,$$

was zu implizieren scheint:

$$\delta y\stackrel{?}{\equiv}\left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)\neq \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)\text d\alpha.$$

Ich kann sehen, dass dies (vielleicht ein wenig mit der Hand winkend) einer Multiplikation mit entspricht$\text d\alpha/\text d\alpha$, aber ich bin mir nicht sicher, ob das eine gültige Art ist, darüber nachzudenken. Was fehlt mir hier?