Teilzeitableitung der On-Shell-Aktion

Ich habe ein paar Fragen zur Unterscheidung der On-Shell-Aktion.

Folgendes verstehe ich derzeit (oder glaube ich zu tun!):

1. Da ein System mit Lagrange$\mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$hat die Koordinate$\mathbf{q}_1$zum Zeitpunkt$t_1$, und die Koordinate$\mathbf{q}_2$zum Zeitpunkt$t_2$, gibt es einen eindeutigen 'extremen Pfad'$\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t)$was die Aktion funktionsfähig macht

   $$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)\text{d}t$$ stationär. Mit anderen Worten,$\gamma$erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen, $$\left.\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} -\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right)\right|_{q(t) = \gamma(t)} = \mathbf{0},$$ und hat$\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t_1) = \mathbf{q}_1$Und$\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t_2) = \mathbf{q}_2$.

2. Darüber hinaus ermöglicht die Existenz dieser Funktion die Definition von Geschwindigkeit, Impuls usw. an den Endpunkten, z. B. den Impuls bei$(t_2, \mathbf{q}_2)$Ist

   $$\mathbf{p}_2 = \left.\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}(t)}\right|_{t=t_2},$$ Wo$\dot{\gamma} \equiv \partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t) /\partial t$.

3. Ignorieren$t_1$Und$\mathbf{q}_2$Der Einfachheit halber kann die On-Shell-Aktion (siehe hier ) so definiert werden

   $$s(t_2, \mathbf{q}_2) = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t. \tag{1}$$ Wichtig,$s$ist eine Funktion von$t_2$,$\mathbf{q}_2$, und nicht funktional. Sie kann daher wie jede andere Funktion unterschieden werden.

4. Das zeigt sich in Landau

   $$\frac{\partial s}{\partial t_2} = -\mathcal{H}_2, \quad \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} = \mathbf{p}_2, \tag{2}$$

   aber ich folge der Argumentation nicht.

Ich möchte die Gleichungen (2) durch direkte Differenzierung von (1) ableiten. Ich habe mehrere Antworten gelesen, die dies auf andere Weise ableiten ( hier , hier und hier ), aber ich habe noch einige Fragen. Hier zunächst mein Versuch einer Differenzierung bzgl$\mathbf{q}_2$.

$$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} &= \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t\\ &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2} +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\cdot\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial \mathbf{q}_2} \text{d}t. \end{align}$$ Jetzt, $$\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial \mathbf{q}_2} =\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \frac{\text{d}\gamma}{\text{d} t} = \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2},$$ so können wir nach Teilen integrieren, um nachzugeben $$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} &= \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\right)}_{\mathbf{0}}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2} \text{d} t\\ &=\mathbf{p}_2\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}(t_2). \end{align}$$ Damit (2) wahr ist, sollten wir haben$\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}(t_2) = \mathbf{I}$. Ist es gültig, die Reihenfolge der Auswertung und Differenzierung auszutauschen, um zu schreiben $$\left.\frac{\partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t)}{\partial \mathbf{q}_2}\right|_{t=t_2} = \frac{\partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t_2)}{\partial \mathbf{q}_2} = \frac{\partial \mathbf{q}_2}{\partial \mathbf{q}_2} =\mathbf{I}?\tag{3}$$ Wenn ja warum? Wenn nicht, wie ist es dann möglich, von hier aus zu Gleichung (2) zu gelangen?

Zweitens ist hier mein Versuch der Differenzierung bzgl$t_2$.

$$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial t_2} &= \frac{\partial}{\partial t_2} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t \\ &= \mathcal{L}_2 + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t\\ &=\mathcal{L}_2 + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2} +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\cdot\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t_2} \text{d}t\\ &= \mathcal{L}_2 +\left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial t_2}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\right)}_{\mathbf{0}}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2} \text{d} t\\ &=\mathcal{L}_2 + \mathbf{p}_2\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2}(t_2) \end{align}$$ Um von der ersten zur zweiten Zeile zu gelangen, habe ich die Leibnizsche Regel zum Ableiten von Integralen verwendet. Damit Gleichung (2) wahr ist, sollten wir haben $$\frac{\partial \gamma}{\partial t_2}(t_2) = -\dot{\mathbf{q}}_2.\tag{4}$$ Ist das richtig? Wenn ja, wie kann es gezeigt werden?

Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe, die jemand geben kann!