Äquivalenz von funktionalen und partiellen Ableitungen

Die Definition der (Integral der) funktionalen Ableitung (zumindest eine Definition, die für die Strenge auf Physikniveau gut genug ist) ist die Differenz der Funktion, die auf einem Pfad ausgewertet wird$x(t)$plus eine willkürliche Variation$\epsilon(t)$und die auf dem Pfad ausgewertete Funktion zur führenden Reihenfolge in$\epsilon$. Mit anderen Worten

$$\begin{equation} S[x(t)+\epsilon(t)]-S[x]=\int dt \frac{\delta S}{\delta x} \epsilon(t) + O(\epsilon^2) \end{equation}$$ Die Tatsache, dass diese Definition die funktionale Ableitung in ein Integral einfügt, spiegelt die Tatsache wider, dass die funktionale Ableitung eine Verteilung ist, wie eine Dirac-Delta-Funktion, sie ist nur innerhalb eines Integrals gut definiert.

Jetzt definieren

$$\begin{equation} S_V[x(t)]=\int dt V(x(t)) \end{equation}$$ Dann $$\begin{equation} S_V[x(t)+\epsilon(t)]=\int dt V(x+\epsilon)=\int dt\left( V(x) + \frac{\partial V}{\partial x}\epsilon+O(\epsilon^2)\right) \end{equation}$$ Im Vergleich mit der Definition des funktionalen Derivats sehen wir, dass wir identifizieren können $$\begin{equation} \frac{\delta S_V}{\delta x} = \frac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$ Das ist die Aussage, die Sie brauchen.

So denke ich darüber. Eine Aktion ist eine Funktion: Sie frisst eine Funktion und gibt eine Zahl zurück. Die funktionale Ableitung fragt: "Wie ändert sich der Wert der Funktion für sehr kleine Änderungen in der Funktion, die der Funktion zugeführt wird?"

Denken wir zuerst an eine Flugbahn,$x(t)$. Dies ist, was wir dem Funktional zuführen werden. Betrachten wir nun eine glatte Familie solcher Trajektorien,$x_\lambda (t)$. Das heißt, für jeden$\lambda$Wir haben eine andere Flugbahn mit kleinen Änderungen$\lambda$was zu kleinen Änderungen in führt$x_\lambda (t)$. Nehmen Sie tatsächlich an, dass es eine Funktion gibt$\delta x (t)$so dass

$$\delta x (t) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{x_\lambda (t) - x_0 (t)}{\lambda}.$$

Wenn jeder$\lambda$gibt eine Bahn, jede Bahn gibt eine reelle Zahl, wenn sie einem Funktional zugeführt wird, dann gibt die Komposition eine Funktion

$$S[x_\lambda]: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ .

Dies ist nur eine reelle Funktion, also können wir ihre Ableitung ohne Nabelschau nehmen.

Wenn$S$nett genug ist, dann gibt es eine Funktion, auf die wir verlockend verweisen werden$\frac{\delta S}{\delta x}$so dass für jede Familie$x_\lambda$, wir haben

$$\left.\frac{d S[x_\lambda]}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} = \int \frac{\delta S}{\delta x} \delta x \,dt.$$

Beschäftigen wir uns also mit einer wirklich einfachen "Aktion", die alles Potenzial hat:

$$S[x] = \int_{t_i}^{t_f} (V \circ x)(t) \, dt$$

Ich gebe dir eine Funktion$x(t)$, du komponierst es mit V, integrierst es und es erscheint eine reelle Zahl. Wenn ich Ihnen eine Familie gebe$x_\lambda$, dann haben wir eine Funktion

$$S[x_\lambda] = \int_{t_i}^{t_f} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt$$

Jede$\lambda$ergibt eine andere Funktion und damit eine andere Zahl. Es ist nur eine Vanille$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$Funktion. Die Ableitung ergibt

$$\left.\frac{d S[x_\lambda]}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} = \frac{d }{d \lambda}\int_{t_i}^{t_f} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d }{d \lambda} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} (V^\prime \circ x) \left( \left.\frac{d x_\lambda}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} \right) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} (V^\prime \circ x) \delta x \, dt$$

Wenn wir uns also unsere Definition ansehen, sehen wir das

$$\frac{\delta S}{\delta x} = V^\prime \circ x.$$

Beachten Sie, dass die vorletzte Zeile nur aus der Kettenregel folgt.