Warum addieren Phasoren gleiche Vektoren?

Einfach weil wenn:

$$R\,\cos(-\omega\,t+\theta) = A \cos(\omega\,t) + B\,\sin(\omega\,t)\tag{1}$$

Dann:

$$R\,\cos\theta = A\tag{2}$$ $$R\, \sin\theta = B\tag{3}$$

Damit die Entität$R\angle\theta$zerfällt in eine Überlagerung von Festphasen-Quadratur-Sinuskurven$\cos(\omega\,t),\,\sin(\omega\,t)$genauso wie sich ein Vektor zerlegt$x$Und$y$Komponenten. Also, wenn wir die Entitäten summieren$R\angle\theta \equiv R\,\cos(-\omega\,t+\theta)$Und$R^\prime\angle\theta^\prime \equiv R^\prime\,\cos(-\omega\,t+\theta^\prime)$, tun wir dies, indem wir alle entsprechenden Gewichte von summieren$\cos(\omega\,t),\,\sin(\omega\,t)$, also äquivalent zur Vektoraddition.

Man kann (1), (2) und (3) zusammenfassen, um zu zeigen, dass die Menge der Funktionen

$$\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\;R\,\cos(-\omega\,t+\theta)|\;\theta,\,R\in\mathbb{R}\}$$

für alle fest$\omega\in\mathbb{R}$ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen der Dimension 2 mit einem Paar möglicher Basisvektoren$f_x(t)=\cos(\omega\,t)$Und$f_y(t)=\sin(\omega\,t)$. Definieren wir weiter das Skalarprodukt

$$\langle f,\,g\rangle = \frac{\pi}{\omega}\,\int_0^\frac{2\,\pi}{\omega}\,f\,g\,\mathrm{d} t$$

dann wird unser Vektorraum ein zweidimensionaler reeller innerer Produktraum und die Basis$\{f_x,\,f_y\}$ist eine Orthonormalbasis bezüglich des Skalarprodukts.

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Weitere Details:

Die zentralen Objekte und Operationen, die uns die Phasor-Methode ermöglicht, sind:

1. Sinuskurven mit beliebiger Phase, alle mit der gleichen Trägerfrequenz, dh Einheiten der Form$f(t) = R\,\cos(-\omega\,t+\theta) \equiv R\angle\theta$;
2. Addition dieser Sinuskurven, was durch die Beschränkung der Phasor-Methode auf die lineare Systemanalyse gerechtfertigt ist, wo wir versuchen, Lösungen linearer Differentialgleichungen zu addieren, um andere Lösungen derselben Gleichungen zu finden. ZB die Subtraktion zweier sinusförmig mit der Zeit variierender elektrischer Potentiale über einem Schaltungselement, um die Spannung über dem Element zu finden, oder die Summierung solcher Spannungen um eine Schleife herum beim Aufschreiben des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes (stationäre Energieeinsparung); die Addition von sich sinusförmig mit der Zeit ändernden Strömen an einem Knoten, um das Kirchhoffsche Stromgesetz aufzuschreiben (Konstantzustands-Ladungskontinuitätsgleichung);
3. Die Transformation einer sinusförmig mit der Zeit veränderlichen Eingabe durch ein lineares zeitverschiebungsinvariantes System in eine stationäre sinusförmig mit der Zeit veränderliche Ausgabe: zB die Spannung über einem linearen konzentrierten Schaltungselement als Antwort auf die sinusförmig veränderliche -mit der Zeit Ausgangsstrom durch sie oder umgekehrt. Im eingeschwungenen Zustand transformiert ein lineares zeitverschiebungsinvariantes System seinen Eingang, indem es seine Amplitude mit einem konstanten Skalierungsfaktor skaliert und dem Eingang eine konstante Phasenverzögerung hinzufügt.

Beachten Sie, dass in 3. die Phasor-Methode Transienten in linearen Systemen nicht bewältigen kann; sie kann im eingeschwungenen Zustand nur ein lineares System mit sinusförmiger Anregung beschreiben.

Wir haben das bereits durch (1), (2) und (3) begründet, wenn wir Entitäten der Form hinzufügen$R\,\cos(\omega\,t-\theta) \equiv R\angle\theta$( dh die LHS von (1)) können wir tun, indem wir die hinzufügen$A$Und$B$Koeffizienten, was wiederum dasselbe ist wie das Addieren der kartesischen Komponenten eines zweidimensionalen Vektors.

Nun, ein weiterer Ansatz dazu ist zu berücksichtigen, dass die$\mathbb{R}$-lineare Funktion

$$\mathrm{Re}:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\tag{4}$$

und das$\mathbb{C}$-linearer Upconversion-Operator:

$$\mathscr{U}:(\mathbb{R}\to\mathbb{C})\to(\mathbb{R}\to\mathbb{C});\quad f(t)\mapsto e^{i\,\omega\,t}\,f(t)\tag{5}$$

durch die obigen Linearitäten haben die Eigenschaften, dass

$$\mathrm{Re}\circ\mathscr{U}(R\,e^{i\,\theta}) = R\,\cos(-\omega\,t+\theta)\tag{6}$$ $$\mathrm{Re}\circ\mathscr{U}(R\,e^{i\,\theta}+ R^\prime\,e^{i\,\theta^\prime}) = R\,\cos(-\omega\,t+\theta)+R^\prime\,\cos(-\omega\,t+\theta^\prime)\tag{7}$$ $$\mathrm{Re}\circ\mathscr{U}(R\,e^{i\,\theta}\times a\,e^{i\,\alpha}) = a\,R\,\cos(-\omega\,t+\theta+\alpha)\tag{8}$$

und außerdem$\mathrm{Re}\circ\mathscr{U}$ist bijektiv , wenn wir sie auf komplexe Konstanten und die inverse Abbildung auf Funktionen der Form beschränken$\tilde{f}(t) = R\,\cos(-\omega\,t+\theta)$; die letztere eingeschränkte Menge ist alles, womit wir in der Phasor-Methode arbeiten wollen.

(6) und (7) sagen, dass die Additionsoperation 2. originalgetreu reproduziert wird, wenn wir unsere willkürlich phasenverschobenen Sinuskurven durch komplexe Konstanten darstellen und letztere addieren, und (8) sagt, dass wir die obige Eigenschaft 3. replizieren können, indem wir die Wirkung von darstellen jedes lineare System durch eine komplexe Skalierungskonstante und Anwenden dieser Konstante durch komplexe Multiplikation auf die Zahl$z=R\,e^{i\,\theta}$um die Amplitude und Phase der Ausgabe des linearen Systems zu finden.

Komplexe Zahlen addieren natürlich ähnliche Vektoren.

Etwas anderes, was wir aus der Phasor-Methode erhalten, ist das innere Produkt, das das zeitlich gemittelte Produkt zweier sinusförmig variierender Größen darstellt, dh wenn$z=R\,e^{i\,\theta}$Und$z^\prime=R^\prime\,e^{i\,\theta^\prime}$sind zwei komplexe Zahlen, die die zeitveränderlichen Sinuskurven darstellen$R\,\cos(-\omega\,t+\theta)$,$R^\prime\,\cos(-\omega\,t+\theta^\prime)$, Dann:

$$\langle R\,\cos(-\omega\,t+\theta) R^\prime\,\cos(-\omega\,t+\theta^\prime)\rangle_t = \frac{1}{2} \langle z, z^\prime\rangle = \mathrm{Re}(z^\ast\,z^\prime)\tag{9}$$

Wo$\langle \_ \rangle_t$ist der zeitliche Mittelwert über eine Periode, sodass wir mit (9) beispielsweise die mittlere Leistung berechnen können, wenn ein Strom durch eine Potentialdifferenz fließt, indem wir die beiden Zeiger wie in (9) kombinieren. In der Tat das Kreuzprodukt zwischen den beiden als Vektoren gedachten Phasoren:

$$z\wedge z^\prime = \mathrm{Im}(z^\ast\,z^\prime)\tag{10}$$

hier eine reelle Zahl, gibt uns die Amplitude des oszillierenden Teils des momentanen Produkts zwischen den beiden Sinuskurven. Damit lässt sich zB die Energie berechnen, die über einen Zeitraum in einem Stromkreis hin und her gependelt wird.

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Und zuletzt...

Eine völlig andere Art, eine Technik zu motivieren, die die Idee eines Phasors im Fall des elektromagnetischen Felds erweitert und ihm im Fall einer einzelnen Frequenzzeitvariation äquivalent ist, ist die Riemann-Silberstein-Idee der Diagonalisierung der Maxwell-Gleichungen. Die resultierende Technik funktioniert nicht nur wie Phasoren (sondern ist allgemeiner), sie hat eine sehr ordentliche und elegante Interpretation in Bezug auf die Polarisation. Ich diskutiere diese Idee in meiner Antwort hier .

Ein Zeiger ist eigentlich eine komplexe Zahl, die isomorph zu ist$\mathbb{R}^2$, und das ist ein bekannter Vektorraum: die üblichen Pfeile.

Übersetzung: Ein Zeiger ist eine komplexe Zahl, und Sie addieren komplexe Zahlen auf die gleiche Weise wie Vektoren. Arbeiten mit$a+bi$ist gleichbedeutend damit mit$(a,b)$Paare.

Der einzige Unterschied ist, dass jetzt der Winkel (Phase) von der Zeit abhängt, aber das ändert nichts. Die Summe hängt davon ab$t$auch, genau das, und das ist, was Sie sehen, was passiert.

Phasoren sind rotierende Vektoren. Zusammenfassend verwenden wir den einfachen Satz:

$$\sum x (\text{or}\ y)\ \text {components of vectors} = x\ (\text{or}\ y)\ \text{component of}\sum \text{vectors}.$$ Die Sinuskurven sind die x- Komponenten, die Sie hinzufügen möchten. Aber es kann einfacher sein, die Vektoren mit diesen x- Komponenten zu addieren (unter Verwendung eines Zeigerdiagramms, das nur eine spezielle Art eines Vektordiagramms ist) und dann die x- Komponente der Summe der Vektoren zu nehmen (wenn wir den Momentanwert wollen).

Das Hinzufügen von Zeigern ist nur dann sinnvoll, wenn die Spannungen oder Ströme, die sie darstellen, alle dieselbe Frequenz haben. Dann drehen sich die Phasoren alle als Gruppe und behalten ihre relative Position bei.

Zeiger können durch komplexe Zahlen dargestellt werden (und das ist eine nette Sache), aber als rotierende Vektoren können sie nur mit reellen Zahlen behandelt werden.

Bearbeitet, um zu versuchen, klarer zu werden.