Gibt es einen formalen Beweis für den Superpositionssatz?

Hier gibt es ein paar wichtige Aspekte der Physik und Mathematik zu verstehen, aber man muss sehr vorsichtig sein, um einen Zirkelschluss zu vermeiden. Das Schlüsselkonzept, denke ich, ist das von a

• lineares Schaltungselement , bei dem der Ausgang genau proportional zum Eingang ist.

Die genaue Bedeutung von "Eingabe" und "Ausgabe" hängt vom genauen Gerät ab, aber das spielt keine so große Rolle. Wenn Sie bei einem linearen Kondensator die Ladung auf den Platten verdoppeln, verdoppeln Sie die Potentialdifferenz über ihnen. Bei einem linearen Widerstand ist der Potentialabfall zwischen den Anschlüssen proportional zum Strom durch ihn. Bei einer linearen Induktivität ist sie proportional zur Änderungsrate des Stroms.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle Schaltungselemente linear sind . Eine Diode reagiert beispielsweise anders, wenn Sie ihre Polarität ändern. Eine Glühbirne erhöht ihren Widerstand, wenn der Strom ansteigt. Eisenkerninduktivitäten zeigen eine Hysterese, sodass ihre Induktivität unterschiedlich ist, je nachdem, ob ihre Magnetisierung zunimmt oder abnimmt. Im Allgemeinen zeigen die meisten Schaltungselemente eine gewisse Nichtlinearität, wenn Sie sie hart genug ansteuern (selbst wenn "hart genug" "so hart ist, dass Sie es braten", was ebenfalls ein nichtlineares Verhalten ist).

Die Beschränkung auf lineare Schaltungen ist also teils Definition und teils Physik. Sie schließen für Ihre Schaltung explizit solche Elemente aus, die sich nichtlinear verhalten. Wenn ich Ihnen eine Platine mit einer komplizierten gedruckten Schaltung gebe und Sie entscheiden möchten, ob sie linear ist oder nicht, müssen Sie sie auseinander nehmen und die Antwortkurven aller ihrer Komponenten messen. Sind sie alle linear? Großartig! deine Schaltung ist linear.

Wenn Sie also Ihren Beweis mit „let$C$sei eine lineare Schaltung ...", gehen Sie davon aus , dass dieser Schritt (in dem sich der größte Teil der Physik befindet) bereits abgeschlossen wurde. Dies ist daher eine sichere Annahme für einen Beweis, die jedoch mit einer Einschränkung verbunden ist die Gültigkeit des Ergebnisses nur auf solche Schaltkreise, die empirisch auf Linearität überprüft wurden.

Dies ist im Wesentlichen alles, was Sie brauchen. Sie kennen die (linearen!) Gleichungen, die (Ladung / Strom / Änderungsrate des Stroms) in jedem Element mit der Potentialdifferenz darüber verbinden, und Sie können die Kirchhoffschen Gesetze verwenden (die die Ladungserhaltung an jedem Knoten und die Energieerhaltung beinhalten). jede Schleife, und daher immer halten), um sie zu verbinden. Dies führt natürlich zu einem linearen System zwischen Ihren Quellen und Ihrem Ausgang. Dieses lineare System hat die mathematische Eigenschaft, dass die endgültige Lösung die Summe dessen ist, was Sie erhalten würden, wenn jede der Quellen der Reihe nach für sich selbst eingeschaltet würde, was das Überlagerungstheorem ist, wie es in Wikipedia angegeben ist, Zustände. Wenn Ihr System die physikalische Eigenschaft hat, die der mathematischen Linearitätsannahme entspricht, hat es auch die physikalische Eigenschaft, die dem mathematischen Ergebnis entspricht.

Superposition ist im Wesentlichen ein mathematisches Konzept. Die Untersuchung eines physikalischen Phänomens und die Wahl des mathematischen Modells, um es darzustellen, definieren die mathematischen Beziehungen, denen das Phänomen vorgeschlagen wird, und Überlagerung kann eine davon sein.

Zum Beispiel, wenn wir sagen, dass ein Kondensator der mathematischen Regel folgt$I = C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$, und dass der ODE ein RC-Glied folgt$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V(t)+\frac{1}{RC}V(t) = \frac{1}{R}V_{\text{in}}(t)$, dann erhalten wir "automatisch" die Überlagerungseigenschaft für$V_{\text{in}}(t)$dank der mathematischen Natur von ODEs.

Wenn Sie jedoch berücksichtigen, dass ein Kondensator nicht linear ist (dh nicht genau folgt$I = C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$), sondern eine komplexere nichtlineare Form, dann Überlagerung von$V_{\text{in}}(t)$würde nicht halten.

Der „Überlagerungsbeweis“ fällt also eigentlich in den Bereich der Mathematik, während die Wahl des mathematischen Modells zur Darstellung eines physikalischen Phänomens Gegenstand theoretischer und/oder experimenteller Studien ist.

Es gibt viele Beweise, das Problem ist, dass sie zu mathematisch werden und daher Elektrotechnikstudenten vom Kern der Elektrotechnik ablenken.

Sehr strenge Beweise beinhalten die Annahme, dass Ihre Schaltungen als planare Graphen dargestellt werden können. Zusätzliche Annahmen, einschließlich keine Kurzschlüsse, nur unabhängige Strom- und Spannungsquellen. Beweise mit abhängigen Quellen werden kompliziert.

In jedem Fall legen Sie für den vollständigen Beweis KVL und KCL (Knotenanalyse, Netzanalyse) fest und erhalten am Ende ein lineares Gleichungssystem, das zur Lösung der Schaltung benötigt wird.

Natürlich können Sie die lineare Gleichung einfach mit elementaren Techniken der linearen Algebra lösen, aber wenn Sie genau aufpassen, sehen Sie, dass die Gleichungen immer die Form haben: Linearkombination von Knotenspannungen = Linearkombination von unabhängigen Spannungsquellen und Stromquellen

(ODER natürlich Linearkombination der Zweigströme ) = ...

(Beachten Sie, dass die Koeffizienten für die Spannungsquellen und Stromquellen in den obigen Gleichungen einfach algebraische Funktionen NUR von Widerständen sind)

... von hier aus sollte es auch leicht zu sehen sein, dass wir Schaltungen lösen können, indem wir einfach jeweils eine Quelle umschalten (und alle anderen Quellen auf Null halten) und dann die "Effekte" addieren.

Um es zusammenzufassen: Was wir tun, ist anzunehmen, dass ein lineares Gleichungssystem existiert, dass dieses System so viele Unbekannte hat, wie es Gleichungen gibt (nicht über/unter spezifiziert) – aber wir werden dieses System nicht aufschreiben und lösen es, stattdessen setzen wir alle V's und I's auf Null und drehen jeweils ein V oder I zurück und lösen gleichzeitig nach Strömen/Knotenspannungen.