Zeitkonstante versus Halbwertszeit – wann welche verwenden?

"Was ist ein einfacher intuitiver Weg, um den Unterschied zwischen der Art von Systemen zu erkennen, bei denen die Halbwertszeit nützlich ist, und Systemen, bei denen Zeitkonstanten aussagekräftiger sind?"

Für Systeme, die einer exponentiellen Abklingbeziehung gehorchen, kann entweder die Halbwertszeit oder die Zeitkonstante verwendet werden. Ich denke, es ist weitgehend eine Frage der Tradition, dass die Halbwertszeit ($t_{1/2}$) wird für Radioaktivität und Zeitkonstante ($\tau$) für C–R- und L–R-Schaltungen. Die Beziehung zwischen ihnen ist

• Für CR- oder LR-Schaltungen war es vor den Tagen elektronischer Taschenrechner geringfügig einfacher zu berechnen$\tau =\frac LR$oder$\tau =CR$als zu rechnen$t_{1/2}=(\ln 2)CR$.

• und es gibt wohl weniger Motivation zu wissen, wie lange es dauert, bis sich eine Spannung an einem Kondensator halbiert, als wie lange es dauert, bis sich eine radioaktive Aktivität halbiert. Für das Schaltungsverhalten ist normalerweise eine allgemeine Vorstellung von einer charakteristischen Zeit von Bedeutung, und$\tau$ist so gut wie$t_{1/2}$.

• Der intelligente Laie interessiert sich mehr für Radioaktivität als für Kondensatorentladung, und es ist einfacher, die Idee der Halbwertszeit zu erklären als die der Zeitkonstante oder ihrer reziproken Zerfallskonstante. [In den ersten Jahrzehnten nach ihrer Entdeckung gab es ein großes öffentliches Interesse – siehe zum Beispiel Kapitel in Bestsellern von Jeans und Eddington – an der Radioaktivität.]

Ich denke, der Hauptgrund, warum Zeitkonstanten überhaupt verwendet werden, ist, dass dies die geringste Wahrscheinlichkeit für störende Konstanten in Berechnungen verursacht. Es ist der gleiche Grund, warum$\exp(x)$ist beliebter als$2^x=\exp(x\ln 2)$: Wenn Sie letzteres herleiten (was sehr oft gemacht wird), erhalten Sie den natürlichen Logarithmus von 2, der sich in Ihre Gleichungen einschleicht.

Andererseits bezieht sich die Halbwertszeit bei transienten Prozessen eher einfach auf den Zeitraum, in dem die Änderung zwischen Anfangs- und Endzustand (zumindest asymptotisch) äquidistant ist. Nehmen Sie zur Veranschaulichung eine RC-Schaltung, die mit einer Sprungfunktion (Einschaltspannung) geladen ist: Nach der Halbwertszeit liegt die tatsächliche Spannung in der Mitte zwischen 0 und +V, was vielen Menschen das Gefühl gibt, zu wissen, wo etwas Interessantes beginnt in Bezug auf die "Menge" von etwas passieren: Da viele Ingenieuraufgaben auch wirtschaftlicher Natur sind (und Wirtschaftlichkeit oft eine binäre Entscheidung ist, dh "kaufen oder nicht kaufen"), scheint die Halbwertszeit eine Art Halbwertszeit zu sein ein Break-Even-Punkt zwischen Aufwand und Gewinn. Was natürlich kein guter Fall für die RC-Schaltung ist, weil die Leute normalerweise die Zeitkonstante dafür verwenden. Übrigens, Es ist fast die gleiche Situation wie im Frequenzbereich (Filter), wo vor allem die Halbierung der "Menge" von Interesse ist (gegeben durch 3dB- oder 6dB-Grenzen, je nachdem, ob Amplitude oder Leistung betrachtet werden). Aber diese Argumente sind natürlich ziemlich subjektiv.

Daher werde ich das Argument von Surprised Seagull wiederholen, um allgemein zu verwenden, was andere auf dem Gebiet für angemessen halten.

Eine falsche, aber etwas nützliche Heuristik besteht darin, die Zeitkonstante für Ereignisse zu verwenden, die sich wiederholen, und die Halbwertszeit für Ereignisse, die einmalig sind

Nützlicher ist es, das zu verwenden, was auch von anderen in diesem bestimmten Bereich verwendet wird. Halbwertszeit für Radioaktivität, Zeitkonstante für elektronische Filter, Zeit bis zum Ausfall für die Zuverlässigkeitsberechnung, Jahresprozente für Geld, Geburtenrate in der Demografie, R-Wert für Krankheiten, Scheffel pro Acre in der Landwirtschaft.

Die Verwendung von Werten, die in diesem Bereich nicht üblich sind, ist im Allgemeinen nicht erwünscht. Wie negative Halbwertszeit für Bevölkerungswachstum oder R-Wert für Geldwachstum. Wahrscheinlich werden sie verstehen, was du meinst, aber sie werden es sicher nicht mögen.

Ob man lieber einen exponentiellen Abfall mit der Zeitkonstante schreibt, ist Geschmackssache$\tau$und Kräfte von$e$

Beide Wege sind gleichwertig und Sie können zwischen ihnen wechseln, indem Sie verwenden

(1) erscheint mathematisch natürlicher, weil sie direkt als Lösung der Differentialgleichung erscheint

Und (2) ist selbst für einen mathematischen Laien, der die Bedeutung von nicht kennt, leichter zu verstehen$e$.

Auch bei radioaktiven Systemen kann die Nutzung gemischt werden. Isotope werden als Halbwertszeiten angegeben, aber einzelne Nukleonen oder Elementarteilchen werden oft als Lebensdauern angegeben.

Siehe zum Beispiel https://pdg.lbl.gov/2021/web/viewer.html?file=../tables/rpp2021-sum-leptons.pdf , wo der Zerfall der Myon- und Tau-Leptonen als mittlere Lebensdauer angegeben ist, obwohl der Zerfall ähnlich wie radioaktive Kerne ist!

Sie werden feststellen, dass viele Partikel stattdessen eine Breitenmessung haben; dies wird für sehr kurzlebige Systeme verwendet. Die gleiche Notation wird gelegentlich für Systeme mit extrem kurzer Lebensdauer verwendet, zum Beispiel 8Be, das die Einheit eV hat, um seinen Zerfall zu beschreiben: https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/reCenter.jsp?z=4&n=4

Angesichts dessen denke ich, dass es oft nur historische Gründe sind, warum das eine gegen das andere verwendet wird. Bei extrem kleinen Lebensdauern ist es aber oft beides nicht.