Verstärkung als Funktion der Frequenz (RC-Hochpassfilter)

Question

Verstärkung als Funktion der Frequenz (RC-Hochpassfilter)

Ben

Ich habe eine einfache Serien-RC-Schaltung konfiguriert. Quer über den Stromkreis habe ich die Klemmen einer sinusförmigen Wechselspannungsquelle gelegt (ich verwende mein Telefon als Funktionsgenerator). Mein Ziel war es, die Widerstands- / Spannungsverstärkung zu messen und meine Ergebnisse mit der Theorie zu vergleichen.

Die Daten wurden unter Verwendung der RMS-Spannungseinstellung auf einem Voltmeter über der Quelle gemessen $(V_{\rm in})$ und über den Widerstand $(V_{\rm out})$ . Ich berechnete den Gewinn als $V_{\rm out}/V_{\rm in}$ und gegen die erzeugte Frequenz aufgetragen. Ich habe das Diagramm (Abbildung 1) zusammen mit einer logarithmischen Trendlinie beigefügt.

Notiz: $C=10\,\rm \mu F$ Und $R=50\,\Omega$ .

Der Trend in Abbildung 1 wird erwartet; Niedrige Frequenzen werden stärker abgeschnitten als hohe. Ich glaube, dass mein Problem dann in meinen Versuchen liegt, dieselbe Handlung mithilfe der Theorie zu erzeugen.

Ich suche nach einer Art "grundlegender" Erklärung dieser Schaltung. Bisher habe ich nur das:

Wenn ich das als Eingangssignal darstelle $V(t)=A\sin(\omega t),$ Wo $A$ ist die maximale Spannung, $\omega$ ist der $2\pi$ der Frequenz und $t$ Zeit ist, dann sollte der Strom durch die Schaltung als Funktion der Zeit sein

ICH = \frac{A}{Z} Sünde (ω T + P)

$I=\frac{A}{Z}\sin(\omega t+P)$

Wo $P$ ist der Komplementärwinkel zum Phasenwinkel gegeben durch $\arctan[1/(\omega RC)],$ Und $Z$ , die Impedanz, ist gegeben durch

Z = {(R^{2} + {(\frac{1}{ω C})}^{2})}^{1 / 2} .

$Z=\left(R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2\right)^{1/2}.$

Nach diesem Punkt bin ich mir nicht sicher, wie ich Zeitfunktionen erhalten soll, die die Spannung über dem Widerstand und dem Kondensator beschreiben (vorausgesetzt, meine Gleichung für den Strom ist korrekt).

Wo gehe ich von hier aus hin?

Allgemeines Elektron

Auf der experimentellen Seite sind 50 Ohm ein ziemlich kleiner Wert und benötigen möglicherweise mehr Strom, als Ihr Telefon gerne ausgibt. Ich würde 5 kOhm vorschlagen, mit einem C von 0,1 Mikrofarad.

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Verstärkung als Funktion der Frequenz (RC-Hochpassfilter)

Auf der experimentellen Seite sind 50 Ohm ein ziemlich kleiner Wert und benötigen möglicherweise mehr Strom, als Ihr Telefon gerne ausgibt. Ich würde 5 kOhm vorschlagen, mit einem C von 0,1 Mikrofarad.

Spirin · Answer 1

Wenn es darum geht, die Antwort einer Schaltung auf ein sinusförmiges Signal zu berechnen, ist es oft sinnvoll, die komplexe Darstellung von Signalen zu verwenden. Wir repräsentieren ein gegebenes Signal $S = S_0 \sin(\omega t + \phi)$ mit $\underline{S} = S_0 \exp(j(\omega t + \phi)) = \underline{S_0} \exp(j \omega t)$ , Wo $j^2 = -1$ Und $\underline{S_0} = S_0 \exp(j\phi)$ . Dann, $S = \Re(\underline{S})$ , $\phi = \arg(\underline{S_0})$ Und $S = |\underline{S_0}| = |\underline{S}|$ .

In Ihrem Fall haben Sie

{\begin{cases} \underline{v_{ich N}} = \underline{v_{0}} \exp (J ω T) \\ \underline{v_{Ö u T}} = \frac{R}{R + \frac{1}{C ω J}} \times \underline{v_{ich N}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{R C ω J}} \times \underline{v_{ich N}} \end{cases}

$\begin{cases} \underline{V_{in}} = \underline{V_0} \exp(j\omega t) \\ \underline{V_{out}} = \frac{R}{R+\frac{1}{C\omega j}} \times \underline{V_{in}} = \frac{1}{1+\frac{1}{RC\omega j}} \times \underline{V_{in}}\\ \end{cases}$

Ich habe die Beziehung zwischen gefunden $\underline{V_{out}}$ Und $\underline{V_{in}}$ mit einem Spannungsteiler, wissend, dass die Impedanz eines Kondensators ist $\frac{1}{C\omega j}$ (Sie können versuchen, es selbst zu finden, es ist eine gute Übung).

Jetzt haben wir

\underline{G} = \frac{\underline{v_{Ö u T}}}{\underline{v_{ich N}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{R C ω J}}

$\underline{G} = \frac{\underline{V_{out}}}{\underline{V_{in}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{RC\omega j}}$

was gibt

G = | \underline{G} | = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{1}{R C ω})^{2}}}

$G = |\underline{G}| = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1}{RC\omega})^2}}$

Und

Arg G = \arctan (\frac{1}{R C ω})

$\arg{G} = \arctan(\frac{1}{RC\omega})$

So

v_{Ö u T} = ℜ (\underline{G} \times \underline{v_{ich N}}) = ℜ (\underline{v_{0}} G \exp J (ω T + Arg G))

$V_{out} = \Re(\underline{G}\times \underline{V_{in}})= \Re(\underline{V_0}G\exp{j(\omega t + \arg{G})})$

Endlich,

v_{Ö u T} = \frac{v_{0}}{\sqrt{1 + (\frac{1}{R C ω})^{2}}} Sünde (ω T + \arctan (\frac{1}{R C ω}))

$V_{out} = \frac{V_0}{\sqrt{1+(\frac{1}{RC\omega})^2}}\sin(\omega t + \arctan(\frac{1}{RC\omega}))$

Wo $V_0$ ist der Spitzenwert der Eingangsspannung.

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Ben

Allgemeines Elektron

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Spirin

Ben

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