Strom in der Induktivität unmittelbar nach dem Schließen des Schalters

Wir haben also eine LCR-Reihenschaltung.$V$ist eine Konstantspannungsquelle.$L$,$C$, Und$R$stellt die Induktivität, Kapazität und den Widerstand in der Schaltung dar. Ein Strom$I$fließt durch den Kreislauf.

Jetzt ist der Strom durch jede Komponente gleich. Die Potentialdifferenz zwischen den einzelnen Komponenten zusammen ergibt also die EMK$V$. Damit wird die Differentialgleichung zu:

$$L\frac{dI}{dt}+\frac{Q}{C}+IR=V$$

Wo$Q$ist die Ladung auf dem Kondensator und hängt mit dem Strom zusammen$I=\displaystyle{\frac{dQ}{dt}}$. Das bedeutet, dass wir nur eine Unbekannte in der Gleichung haben, wenn wir alle ersetzen$I$bezüglich$Q$:

$$L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=V$$

das ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Wieder differenzieren bzgl$t$und Umschreiben in Bezug auf$I$, wir bekommen

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=\frac{dV}{dt}$$

Da wir eine konstante Gleichspannungsquelle haben,$\displaystyle{\frac{dV}{dt}=0}$. Somit

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0$$

Durchgehend dividieren durch$L$, wir haben

$$\frac{d^2I}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{I}{LC}=0$$ oder

$$\frac{d^2I}{dt^2}+2\alpha\frac{dI}{dt}+\omega_0^2 I=0$$

Wo$\displaystyle{\alpha=\frac{R}{2L}}$Und$\displaystyle{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

Dies ist eine ODE mit konstanten Koeffizienten. Die charakteristische Gleichung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch:

$$s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0$$

Die Wurzeln dieser Gleichung in$s$Sind:

$s_1=-\alpha +\sqrt{\alpha^2-\omega^2}$Und$s_2=-\alpha -\sqrt{\alpha^2-\omega^2}$

Die allgemeine Lösung ist gegeben durch:

$$I(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$$ .

Jetzt bei$t=0$, sei der Strom Null. Beim Einschalten des Stroms steigt der Strom dann exponentiell auf einen Maximalwert an. Andernfalls dauert es eine endliche Zeit, bis der Strom im Stromkreis einen konstanten Wert hat. Der Strom steigt nicht sofort auf einen Maximalwert an. Dies ist auf das Vorhandensein von Induktivität und Kapazität in der Schaltung zurückzuführen. Aus diesem Grund sagen wir, anders als in der Widerstandsschaltung, in einer LCR-Schaltung, dass der Strom gleich Null ist, unmittelbar nachdem der Schalter geschlossen wurde.

Nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz ist die Summe aller Spannungen um eine Schleife herum gleich Null. Das heißt, die Summe der Spannungen an den drei Elementen Ihrer Schaltung, R, L und C, muss gleich der zeitveränderlichen Spannung von der Quelle sein:

$$V_R+V_L+V_C = V(t)$$

Als$V_R=RI$,$V_L=L\frac{dI}{dt}$Und$V_C=\frac{Q}{C}$, erhalten wir Ihre Gleichung, die korrekt ist:

$$LI'(t) + RI(t) + \frac{1}{C}Q(t)=V(t)$$

Durch Substitution$I=\frac{dQ}{dt}$und Differenzieren kommen wir zur ODE zweiter Ordnung:

$$LI′′(t) + RI′(t) + \frac{1}{C}I(t)= V'(t)$$

Und vorausgesetzt, Ihre Spannungsquelle ändert sich nicht mit der Zeit,$V'(t)=0$.

Eine Schritt-für-Schritt-Lösung für die ODE finden Sie unter diesem Link (oder in jedem Standard-Lehrbuch). Wie Sie sehen, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für die allgemeine Lösung, abhängig von den Variablen Ihrer spezifischen Schaltung, also fangen Sie an, Ihre zu ersetzen$R$,$L$,$C$Werte auf der$\alpha$,$\omega_0$, usw. Ausdrücke (das sind Koeffizienten, die zur Vereinfachung der Berechnungen verwendet werden) und finden Sie heraus, welchen Sie brauchen. Dann können Sie versuchen, Ihre allgemeine Lösung durch verschiedene Anfangsbedingungen (dh die Werte der Ströme im Stromkreis zu Beginn) zu ersetzen und zu untersuchen, wie sich das System für jede von ihnen verhalten wird. Auf diese Weise sollten Sie in der Lage sein, eine Antwort auf Ihre Frage zu finden.

Differentialgleichung aufstellen

$$L \frac {dI}{dt} + RI + \frac {Q}{C} = V$$

wird Ihre Frage nicht unbedingt beantworten: "Was und wie kann ich auf den Strom in diesem Stromkreis schließen, nachdem der Schalter geschlossen wurde?"

Wenn Sie sich irgendwo auf dem Weg zur Lösung die Methoden zur Lösung der Differentialgleichung ansehen, werden Anfangsbedingungen benötigt, von denen eine oft die Bedingung ist, nach der Sie gefragt haben - der Anfangsstrom ist Null.

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Es gibt eine Reihe von vereinfachten Möglichkeiten, um zu überlegen, was passieren könnte:

1. Bevor der Schalter geschlossen wird, ist die durchschnittliche Geschwindigkeit/Impuls der beweglichen Elektronen im Stromkreis Null.
   Der Schalter wird geschlossen und fast augenblicklich wird im Stromkreis ein elektrisches Nettofeld aufgebaut.
   Dieses elektrische Feld übt eine endliche Kraft auf die beweglichen Elektronen aus.
   Die endliche Kraft auf die beweglichen Elektronen erzeugt eine endliche Beschleunigung der beweglichen Elektronen.
   Ein elektrischer Strom ist die Nettobewegung beweglicher Elektronen in einem Stromkreis.
   Die beweglichen Elektronen können sich nicht sofort in Bewegung setzen, daher ist der Anfangsstrom im Stromkreis Null.

2. Die in einem Induktor gespeicherte Energie ist$\frac 1 2 L I^2$.
   Ein momentaner endlicher Stromwert würde erfordern, dass unendlich viel Leistung an den Induktor geliefert wird.

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Der Strom bei geschlossenem Schalter ist also Null und die Änderungsrate des Stroms zu diesem Zeitpunkt unter der Annahme, dass der Kondensator anfänglich ungeladen ist$\frac V L$

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Ein interessantes Beispiel, das sich daran anschließt, ist das Aufladen eines Kondensators$C$durch eine Batterie von Spannung$V$über einen Vorwiderstand$R$.
Die Differentialgleichung für diese Anordnung lautet

$$RI + \frac {Q}{C} = V$$

Unter der Annahme, dass der Kondensator keine Ladung enthält, wenn der Schalter geschlossen ist, wird als Anfangsbedingung verwendet, dass der Strom vorhanden ist$\frac VR$- eine sofortige Änderung vom Nullstrom.
Wenn das Experiment abgeschlossen ist, scheint genau dies der Fall zu sein.

In Wahrheit steigt der Strom von Null auf ungefähr an$\frac VR$in einer Zeit, die sehr viel kürzer ist als die Zeitkonstante der Schaltung$CR$.
Der Grund dafür ist, dass der Stromkreis eine Induktivität aufweist, da es sich um eine Drahtschleife handelt, die jedoch einen sehr kleinen Wert hat, aber einen signifikanten Wert unmittelbar nach dem Schließen des Schalters.

Die Komponente, die sicherstellt, dass der Strom unmittelbar nach dem Schließen des Schalters Null ist, ist die Induktivität. Induktivitäten mögen keine Stromänderungen, da eine Stromänderung bedeutet, dass sich das Magnetfeld, das die Induktivität verbindet, ändert und dies eine Gegen-EMK erzeugt, die der Änderung entgegenwirkt.

Wenn Sie die Induktivität durch ein Stück Draht ersetzen, hätten Sie eine RC-Schaltung und der Strom, der nach dem Schließen des Schalters fließt, wäre$E/R$. Die Sperrspannung des Kondensators ändert sich, sodass unmittelbar nach dem Schließen des Schalters die Spannung am Kondensator Null ist.