Unendliche Anordnung von Kondensatoren und Induktivitäten

Sie kennen vielleicht das überraschende Ergebnis, das man erhält, wenn man das Äquivalent einer unendlichen Reihe von Widerständen berechnet . Was wäre, wenn wir diese Schaltung ändern und die Widerstände durch Kondensatoren und Induktivitäten ersetzen?

Lassen Sie uns nach der Notation in dem oben angegebenen Link ersetzen R 1 mit C Und R 2 mit L so dass

R 1 → Z 1 = − J ω C
R 2 → Z 2 = J ω L

Wo J ist die imaginäre Einheit. Unter erneuter Verwendung des in diesem Link geschriebenen Ergebnisses erhalten wir die folgende Gleichung:

Z e Q 2 − J ω C Z e Q − L C = 0

Wenn wir diese quadratische Gleichung lösen, erhalten wir Folgendes:

Z e Q = J ω C ± − 1 ω 2 C 2 + 4 L C 2 = ± L C − 1 ( 2 ω C ) 2 + J 1 2 ω C

Eine Anordnung idealer Kondensatoren und Induktivitäten führt also zu einer komplexen ( nicht imaginären ) Ersatzimpedanz, wenn L > 1 4 C ω 2 . Das heißt, wenn der Stromkreis mit einer Quelle gespeist würde, würde tatsächliche Leistung dissipiert, obwohl jede der einzelnen Impedanzen rein reaktiv ist. Wie ist das sinnvoll?

eine unendliche Reihe von L C entspricht einer Übertragungsleitung mit konstanter Wellenimpedanz, daher ist ihre Impedanz real und völlig normal, wenn Sie einen an einem Ende abgestrahlten Impuls betrachten, der niemals reflektiert wird.
Denken Sie sorgfältig über die Definition der Impedanz nach, um dieses Paradoxon aufzulösen. Wenn nicht, schreibe ich eine Antwort.
@DanielSank Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich das lösen soll.

Antworten (1)

Anfangs dachte ich, Sie hätten gerade die Gleichungen des Telegraphen wiederentdeckt - aber dann wurde mir klar, dass Sie Ihre Kondensatoren und Induktivitäten "umgekehrt" von diesem üblicheren Szenario ( hier beschrieben ) hatten.

Auch wenn Ihre Situation ungewöhnlich ist, gibt es eine Möglichkeit zu verstehen, was passiert. Die Kondensatoren in Ihrem Netzwerk laden sich auf – und während ein Teil dieser Aufladung vorübergehend ist, dauert ein Teil davon aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Netzwerks „für immer“. Dieses Laden der Kondensatoren bedeutet, dass es einen Mechanismus zum Speichern von Energie gibt - und ich denke, das sagen Ihnen Ihre Gleichungen.

Dies ist viel einfacher zu verstehen, wenn Sie Ihre Kondensatoren wechseln (to be R 2 in Ihrem Diagramm) und Induktivitäten (zu sein R 1 ). Wenn Sie das tun, erhalten Sie am Ende einen Ausdruck für die Impedanz, die dazu tendieren wird Z = L C wenn du machst L Und C infinitesimal, während ihr Verhältnis erhalten bleibt (was passiert, wenn Sie eine Übertragungsleitung als aus vielen kleinen Induktivitäten und Kondensatoren bestehend betrachten).

Wenn Sie eine gewöhnliche Übertragungsleitung haben, breitet sich ein Impuls aus und Energie wird pro Längeneinheit gespeichert. Das Speichern von Energie ist nicht von der Energiedissipation zu unterscheiden (bis Sie eine Reflexion oder einen anderen Mechanismus erhalten, um die Energie wieder zu extrahieren).

Bei einer idealen Übertragungsleitung ist die Impedanz real. Hier ist die Impedanz imaginär oder komplex, aber niemals rein real. Wie kann das sein, wenn das verwendete Modell in beiden Fällen dasselbe ist?
Wenn Sie Ihre Analyse mit umgekehrten Komponenten durchführen, erhalten Sie am Ende einen imaginären Term in L. Aber wenn Sie erkennen, dass in der Grenze unendlich viele, unendlich kleine Komponenten sind, tendiert L zu Null (während das Verhältnis L/C dies nicht tut). Sie sehen, wie der Imaginärteil in der durchgehenden Übertragungsleitung beliebig klein wird.
Was ist mit diesem Papier ? Es scheint dem Verfahren zu widersprechen, das ich in meiner Frage durchgeführt habe, und besagt, dass der erste Schritt (ein Impedanzpaar wegnehmen) illegal ist. Ich glaube, dass es auch Ihrer Antwort widerspricht.
Wenn Sie eine endliche Anzahl von Geräten haben, ändert sich natürlich die Impedanz, wenn Sie weitere Geräte hinzufügen? Außerdem - wenn Sie das ideale Netzwerk genau am Resonanzpunkt betreiben, schweben viele Unendlichkeiten herum; Auch hier funktioniert "normale" Mathematik nicht. Ich denke nicht, dass die Argumentation für den allgemeinen (nicht resonanten) Fall solide ist.
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