Warum ist eine Schaltung aus linearen Elementen selbst eine lineare Schaltung?

Zuerst zu dem, was ich mit linearem Element und linearer Schaltung meine.

Ein lineares Element hat eine Spannung, die proportional zu seinem Strom ist. Die Spannung eines Widerstands ist proportional zu seinem Strom und im Frequenzbereich sind Kondensatoren und Induktivitäten ebenfalls lineare Elemente. Dieses Element hat eine Überlagerungseigenschaft, so dass die Ausgabe einer Eingabe der Summe der Ausgaben von zwei kleineren Eingaben entspricht, die sich zur ursprünglichen Eingabe summieren.

Eine lineare Schaltung hat eine andere Definition. Es wird definiert, indem der Überlagerungssatz erfüllt wird, anders als die Eigenschaft der Überlagerung, die oben für das lineare Element erwähnt wurde. Das Theorem besagt, dass die Spannung oder der Strom irgendwo in der Schaltung aufgrund mehrerer Eingangsquellen die gleiche ist wie die Summe der Antworten, die auftreten würden, wenn nur eine Quelle gleichzeitig eingeschaltet wäre. Dies unterscheidet sich stark von der Bedeutung eines linearen Elements, dessen Überlagerungseigenschaft nur auf Eingaben an einer Stelle statt auf mehrere Eingaben an verschiedenen Stellen angewendet wird.

Das bringt mich zu meiner Frage: Warum erzeugt eine Schaltung aus linearen Elementen eine lineare Schaltung?

Hinweis: Die aktuellen Antworten besagen, dass lineare Elemente eine lineare Schaltung implizieren, ohne zu erklären, warum. Oder zumindest nicht klar genug, um es zu verstehen.

Widerstände und Quellen werden durch lineare, zeitunabhängige Beziehungen definiert .
@CuriousOne Kannst du das klären?
Schauen Sie sich die Definitionen an.
Die Spannung eines Widerstands ist also proportional zu seinem Strom. V=iR. Und eine Quelle hält eine konstante Spannung oder einen konstanten Strom aufrecht. Es handelt sich also um lineare, zeitunabhängige Beziehungen. Wenn ich Kombinationen davon in eine Schaltung stecke, sind sie auch zeitunabhängig. Aber warum müssen sie linear sein?
@CuriousOne Ich habe vergessen, Sie zu benachrichtigen.

Antworten (3)

Nun, Sie könnten die mathematische Definition von linear verwenden.

Definition ( Linear ) - Ein Objekt H heißt linear , wenn sie folgendes Superpositionsprinzip erfüllt:

a H ( X ) + β H ( j ) = H ( a X + β j )

Wenn H wird als linearer Betrieb (in diesem Fall der Betrieb von Widerständen in einer Schaltung) beschrieben, der Überlagerung genügt.

Wenn Sie nun passive Elemente wie eine Induktivität oder einen Kondensator nehmen, werden Sie feststellen, dass sie nicht proportional / linear mit dem Strom zusammenhängen:

v R = ICH R , v ich = L D ICH D T , v C = 1 C ∫ ICH D X

Allerdings genügen auch diese dem Superpositionsprinzip, denn die Ableitungs- und Integraloperatoren sind selbst Linearoperatoren. So kann eine Schaltung hinsichtlich der Eigenschaften ihrer Elemente (linear oder nichtlinear) analysiert und entsprechend gelöst werden.

Aber mit dieser Definition ist eine Spannungsquelle nicht linear? Vs(i)=Vo+0*i. Vs(1)+Vs(2)=2*Vo ist nicht gleich Vs(1+2)=Vo. Obwohl wir wissen, dass die Ströme und Spannungen eines Widerstands und eines Kondensators linear sind, woher wissen wir, dass die Spannung des Widerstands in Bezug auf den Strom des Kondensators in einer beliebigen Schaltung ebenfalls linear ist?

Stellen Sie sich ein beliebig komplexes Netzwerk vor, das nur aus linearen Elementen besteht.

Nehmen Sie jetzt vier Terminals irgendwo im Netzwerk, die als unsere beiden Ports fungieren. Das Netzwerk selbst ist die berühmte Blackbox des 2-Port-Netzwerks.

Wenden Sie nun die Kirchhoffschen Gesetze auf alle möglichen Schleifen im Netzwerk an. Sie erhalten viele lineare Gleichungen, deren Lösung Ihnen den Wert von Spannung und Strom an jedem Knoten im Netzwerk liefert.

Da die vier Terminals selbst mit einigen Knoten verbunden sind, sollten ihre Werte auch in den Satz linearer Gleichungen aufgenommen werden (als Variablen v 1 , ICH 1 , v 2 , ICH 2 ).

Nach dem Lösen erhalten Sie also eine lineare Beziehung zwischen v 1 , ICH 1 , v 2 , ICH 2 , dh die Strom- und Spannungswerte des Anschlusses.

Dies ist die Definition eines linearen Netzwerks. Also bewiesen.

Wenn Sie alle linearen Beziehungen haben, muss das Ergebnis linear sein. Wenn Sie Äpfel haben, tun Sie alles mit ihnen, Sie werden immer noch Äpfel haben

aber woher wissen Sie, dass es keine ausgeklügelte Schaltung linearer Elemente gibt, bei der zwei Eigenschaften in der Schaltung nicht linear zueinander sind?
Das hängt wiederum vom Schaltungsroobee ab. Wenn Sie Komponenten haben, deren Verhalten zeitabhängig ist, z. B. einen Kondensator, ist Ihr Gesamtschaltungsverhalten nicht linear.
Das stimmt nicht ganz. Wenn man Äpfel auf jedes Atom herunterschneidet, hat man eigentlich keinen Apfel mehr.
Warum ist eine Schaltung aus linearen Elementen selbst eine lineare Schaltung?
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