Was genau ist ein Phasor?

Denken Sie an eine Kombination aus der komplexen Ebene und gewöhnlichen Vektoren.

Ein Zeiger ist eine komplexe Zahl, die eine Sinusfunktion darstellt, deren Amplitude (A), Winkelfrequenz (ω) und Anfangsphase (θ) zeitinvariant sind.

Bild und Text von Phasors Wikipedia

Angenommen, Sie haben ein Netzwerk, das aus mehreren Sinuskurven (Wellen) besteht. Sie haben alle die gleiche Frequenz, aber mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen. Der einzige Unterschied in ihren analytischen Darstellungen ist die komplexe Amplitude (Phasor). Eine lineare Kombination solcher Funktionen kann in das Produkt einer linearen Kombination von Zeigern (bekannt als Zeigerarithmetik) und dem zeit-/frequenzabhängigen Faktor, den sie alle gemeinsam haben, eingerechnet werden.

Bei Funktion ${\displaystyle \scriptstyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}}$ in der komplexen Ebene dargestellt wird, dreht sich der aus Imaginär- und Realteil gebildete Vektor um den Ursprung. Seine Größenordnung ist $A$, und es schließt jeweils einen Zyklus ab$2π/ω$Sekunden.$θ$ist der Winkel, den es mit der reellen Achse bildet $t = n•2π/ω$, für ganzzahlige Werte von n.

Alle Vektoren folgen Vektoradditionsgesetzen und Multiplikationsgesetzen. Wenn Sie also zwei Zeiger addieren, werden sie wie Vektoren addiert, aber wenn Sie sie multiplizieren, werden sie wie einfache Zahlen multipliziert. Daher sind Phasoren wie Vektoren, aber keine Vektoren. Genau wie die Flächenvektoren, die wie Vektoren multipliziert, aber wie Zahlen addiert werden.

Phasoren sind komplexe Größen, die verwendet werden, um reale Größen teilweise darzustellen, die zeitlich und möglicherweise räumlich sinusförmig variieren. Alle Phasoren sind zeitunabhängig. Sie stellen teilweise die reale Menge dar und nicht vollständig, da sie keine Informationen über die Häufigkeit haben.

Zu sagen, dass Zeiger wie Vektoren sind, bedeutet zu sagen, dass komplexe Zahlen wie Vektoren sind, was falsch ist. Zunächst einmal gelten die Ähnlichkeiten nur für zweidimensionale Vektoren. Ja, die Addition und Subtraktion von zwei 2D-Vektoren ist analog zur Addition und Subtraktion von zwei komplexen Zahlen; und die Multiplikation eines 2D-Vektors mit einem Skalar ist analog zur Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl. Aber die Division zweier Vektoren ist nicht einmal definiert, jedoch ist die Division zweier komplexer Zahlen definiert; Außerdem können Sie nicht einfach "zwei 2D-Vektoren multiplizieren, Sie müssen angeben, ob es sich um ein Skalarprodukt oder ein Kreuzprodukt handelt, Sie können jedoch "nur" zwei komplexe Zahlen multiplizieren.

Für elektrische Schaltungen eine Zeigerspannung$\tilde V$ist eine komplexe Konstante und repräsentiert die Amplitude und Phase des Signals, aber nicht seine Frequenz. Das Signal$v(t)$ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen (einer zeitlichen,$t$) und stellt den tatsächlichen Momentanwert des Signals dar. Der Sünder$v_c(t)$ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen (einer zeitlichen,$t$) und stellt den komplexen Momentanwert des Signals dar. Einige Beziehungen:

$v(t) = V_m \cos {(\omega t + \phi)} = \Re [\tilde V e^{j \omega t}] = \Re [v_c(t)] \tag*{}$

$\tilde V = V_m e^{j \phi} = V_m \cos {(\phi)} + j V_m \sin {(\phi)} \tag*{}$

$v_c(t) = \tilde V e^{j \omega t} = V_m e^{j \phi} e^{j \omega t} = V_m e^{j (\omega t + \phi)} = V_m \cos {(\omega t + \phi)} + j V_m \sin {(\omega t + \phi)} \tag*{}$

Notiz:$v(t)=\Re [\tilde V]$nur wenn$\omega t = \ldots, -4 \pi, -2 \pi, 0, 2 \pi, 4 \pi, \ldots$; mit anderen Worten, nur wann$\omega t = 2 \pi k$, Wo$k$ist eine beliebige ganze Zahl.

Für lange Übertragungsleitungen (Stromkreise mit verteilten statt konzentrierten Parametern) eine Zeigerspannung$\tilde V(x)$ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen (einer räumlichen,$x$). Das Signal$v(x,t)$ist eine reellwertige Funktion zweier reeller Variablen (eine räumliche,$x$; und eine zeitliche,$t$) und stellt den tatsächlichen Momentanwert dar. Der Sünder$v_c(x,t)$ist eine komplexwertige Funktion zweier reeller Variablen (eine räumliche,$x$; und eine zeitliche,$t$) und stellt den komplexen Momentanwert dar. Einige Beziehungen:

$v(x,t) = V_m e^{a x} \cos {(\omega t + \beta x + \phi)} = \Re [\tilde V(x) e^{j \omega t}] = \Re [v_c(x,t)] \tag*{}$

$\tilde V(x) = V_m e^{j \phi} e^{a x} e^{j \beta x} = V_m e^{a x} e^{j (\beta x + \phi)} = V_m e^{a x} \cos {(\beta x + \phi)} + j V_m e^{a x} \sin {(\beta x + \phi)} \tag*{}$

$v_c(x,t) = \tilde V e^{j \omega t} = V_m e^{j \phi} e^{a x} e^{j \beta x} e^{j \omega t} = V_m e^{a x} e^{j (\omega t + \beta x + \phi)} = V_m e^{a x} \cos {(\omega t + \beta x + \phi)} + j V_m e^{a x} \sin {(\omega t + \beta x + \phi)} \tag*{}$

Für die allgemeine elektromagnetische Theorie sind Phasoren komplexwertige Funktionen von drei reellen Variablen (drei räumliche,$x$,$y$,$z$). Für den momentanen elektrischen Feldvektor gilt:$\mathbf E (x,y,z,t)$, sein Zeiger ist$\mathbf {\tilde E} (x,y,z)$, und die Beziehung$\mathbf E (x,y,z,t) = \Re [\mathbf {\tilde E} (x,y,z) e^{j \omega t}]$ist befriedigt.