Kreuzprodukt von Vektoren

Ich bin nicht in der Lage, die folgenden Zeilen auf Seite 657 von Shankars Prinzipien der Quantenmechanik zu verstehen:

Ein kniffliger Punkt: Das Kreuzprodukt ist bezüglich eines Skalarprodukts orthogonal zu den Vektoren im Produkt definiert

A ⋅ B = ∑ A ich B ich
und nicht
A ⋅ B = ∑ A ich ∗ B ich
auch wenn die Komponenten von A sind komplex. Für die Vektoren gibt es hier keinen Widerspruch A 1 , A 2 , . . . , A N sind fiktive Objekte, die in eine Gedächtnisstütze eingehen und nicht die Elemente des Raums v N ( C ) auf die der Betreiber einwirkt.

Erstens fällt es mir schwer zu verstehen, welche Bedeutung "in Bezug auf ein inneres Produkt" den ersten Zeilen hinzugefügt wird. Zweitens führen uns die Axiome zur mathematischen Form des Skalarprodukts A ⋅ B = ∑ A ich ∗ B ich (auf orthonormaler Basis). Wenn die Vektoren über einem reellen Skalarfeld definiert werden, ergeben die komplex Konjugierten nichts Neues; reelle Zahlen bleiben reelle Zahlen. Hier hat der Autor die Komponenten als komplex angesehen. Trotz dieser Überlegung werden keine komplexen Konjugate in das innere Produkt aufgenommen. Der Grund dafür ist verwirrend. Was meint er, wenn er uns sagt, dass die Vektoren fiktiv sind und nicht in den Raum eintreten, auf dem der Operator agiert?

Könnte mich jemand durch sie führen, indem er mir ein paar Hinweise gibt oder erklärt, was die Zeilen bedeuten?

Deshalb bevorzuge ich ein koordinatenfreies Innenprodukt: A ⋅ B ≡ 1 4 ( | | A + B | | 2 − | | A − B | | 2 ) .
@JEB könntest du mich durch deinen Kommentar führen?
Der Punkt ist, dass dies ein inneres Produkt definiert, ohne auf Summen über Komponenten oder mögliche komplexe Konjugationen von ihnen zu verweisen.

Antworten (1)

  1. Auf der Ebene der Formeln stellt Shankar die Tatsache fest

    A ⋅ ( A × B )   =   0   =   B ⋅ ( A × B )
    gilt nur für Vektoren A Und B mit komplexwertigen Komponenten, wenn das Skalarprodukt bilinear und nicht sequilinear ist . komplexe Zahlen C .

  2. Die Notation v N ( C ) bezeichnet ein N -dimensionaler komplexer Vektorraum, vgl. Def. 4 auf p. 5. Seine Elemente | v ⟩ heißen Vektoren.

  3. Wir spekulieren, dass der Satz

    ... A 1 , A 2 , . . . , A N sind fiktive Objekte, die in eine Gedächtnisstütze eingehen und nicht die Elemente des Raums v N ( C ) .

    Versuchen Sie, einen Vektor zu unterscheiden | v ⟩ und ein N - Tupel ( A 1 , … , A N ) von Komponenten.

Er sagt auch, warum – etwas über fiktive Eselsbrücken. Bezieht er sich nur auf die Tatsache, dass ein Kreuzprodukt von 2 Vektoren nicht wirklich ein Vektor ist, also ist es in Ordnung, ein anderes inneres Produkt zu verwenden?
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Die Begriffe bilinear und sesquilinear sind mir neu. Ich werde sie lesen und versuchen, den ersten Punkt zu verstehen. Das zweite ist eine Definition. Punkt zwei sagt uns, dass die Vektoren Elemente eines komplexen Vektorraums sind v N ( C ) . Aus meiner Lektüre sehe ich, dass Shankar die Vektoren ausschließt v N ( C ) . Das lässt mich jetzt verwirrt zurück. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es richtig denke. Schließlich ist die Spekulation „Unterscheiden zwischen | v ⟩ und ein N -tuple" von Bedeutung? Die Komponenten von | v ⟩ lässt sich besser in Form eines Spaltenvektors ausdrücken.
Kreuzprodukt von Vektoren
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