Was ist die physikalische Bedeutung komplexer Eigenwerte?

Ich verstehe den mathematischen Ursprung komplexer Eigenwerte und dass komplexe Eigenwerte paarweise auftreten . Aber was bedeutet der Imaginärteil? Insbesondere beziehe ich mich auf ein akustisches Problem (Helmholtz-Gleichung) in Verbindung mit Plattenschwingungen: Die Eigenwerte stellen Frequenzen dar, was ist also die physikalische Bedeutung von zwei Eigenwerten mit demselben realen Wert und entgegengesetzten imaginären Werten (konjugiert)? Was bedeuten rein imaginäre Eigenwerte?

Dies ist zu 100% eine Vermutung, da ich nicht in der Akustik arbeite, aber wenn die Frequenz komplex ist, ist der Imaginärteil wahrscheinlich eine Phasenverschiebung.
Der Imaginärteil repräsentiert die Dämpfung. Wenn Sie eine harmonische Funktion mit einer Exponentialfunktion schreiben e ich ( ω + ich λ ) T = e ich ω T e − λ T , dann der reelle Exponent ω repräsentiert die Frequenz und den Koeffizienten des Imaginärteils λ ist die Dämpfungskonstante. Negativ λ führt zu exponentiell steigenden Lösungen.
@Sparkler: Die Frage ist fehlerhaft. Um nach einem physikalischen Sinn zu fragen, müssen Sie Eigenwerte dessen angeben, was Sie betrachten (lassen Sie A einen linearen Operator / eine lineare Matrix von … sein ). Der Laplace-Operator (aus der Helmholtz-Gleichung) ist selbstkonjugiert, daher sind seine Eigenwerte notwendigerweise reell, und es ist kein guter Kandidat, nach der Bedeutung des Imaginärteils zu fragen ☺
könnten Sie bitte eine Referenz angeben?
@Sparkler: über die Selbstadjungiertheit (Anmerkung Ī hat im vorherigen Kommentar einen nicht standardmäßigen Begriff verwendet) des Laplace-Operators? IMHO jedes Lehrbuch der Operatortheorie, das diesen Operator überhaupt berücksichtigt. Sie können auch im Internet nach „Laplace-Eigenwerten“ suchen .
Ich habe die Frage verbessert und eine operatorbezogene Frage in math gepostet .
Wenn Sie über die Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators (also: des Hamiltonoperators) sprechen, dann ist der Imaginärteil 1/Lebensdauer des Systems. Siehe diese Antwort: physical.stackexchange.com/questions/481884/…

Antworten (2)

Um auf einen der Kommentare einzugehen...

Eine komplexe Zahl hat keine physikalische Bedeutung, bis Sie ihr eine geben.

Der Grund, warum komplexe Zahlen in der Lösung der Wellengleichung, der Helmholtz-Gleichung und des harmonischen Oszillators erscheinen, ist, dass wir das Feld, den Druck oder was auch immer in die komplexe Ebene fortsetzen, um die Gleichung einfacher zu lösen. Sie könnten dies Ihr ganzes Leben lang vermeiden und eine Überlagerung reeller Funktionen annehmen und nach Koeffizienten auflösen usw., wie es in den Lehrbüchern über grundlegende elementare Differentialgleichungen gelehrt wird.

Die Verwendung eines komplexen Felds für die Probleme macht das Lösen etwas einfacher, aber Sie müssen den realen Teil Ihrer Antwort nehmen.

Aber am Ende, wenn Sie in einem System Dämpfung haben, haben die "komplexen Eigenwerte" einen Real- und einen Imaginärteil. Geht man von einer Lösung der Form aus P = P 0 e ich k X usw., dann beschreibt der Realteil von k Schwingungen, während der Imaginärteil von k die Dämpfung oder Dämpfung des Feldes beschreibt. Geht man von einer Lösung der Form aus P = P 0 e k X dann ändert sich die Bedeutung. Sie sehen also, nicht nur die "komplexe" Natur hängt davon ab, wie Sie die Gleichung lösen, sondern die "physikalische Bedeutung" hängt von der Darstellung ab.

Was an der integrierten Lösung der nichtlinearen Gleichung von Navier-Stoks interessant sein wird. Wenn Sie in linearen Gleichungen den Realteil nehmen können und eine reelle Lösung erhalten, dann ist dies in nichtlinearen Gleichungen unmöglich. Die Summe zweier Entscheidungen ist keine Entscheidung. Wenn wir die komplexen und konjugierten komplexen Lösungen addieren und durch zwei dividieren, erhalten wir keine Lösung für eine nichtlineare Gleichung. Im Fall einer nichtlinearen komplexen Lösung einer Gleichung wird eine spezielle Formel benötigt, um sie in eine reelle Lösung umzuwandeln. Wir müssen über den physikalischen Sinn einer komplexen turbulenten Lösung nachdenken. Ein Imaginärteil einer komplexen turbulenten Lösung bedeutet die durchschnittliche quadratische Abweichung des Realteils, der der Mittelwert der Lösung ist. Es gibt eine letzte Formel, um eine komplexe turbulente Lösung in eine reelle umzurechnen

D X k D T = R e v k ( X 1 , X 2 , X 3 ) + ich ICH M v k ( X 1 , X 2 , X 3 )
X k = X k ( T , T 0 , X 10 , X 20 , X 30 )

In diesem Fall sind die Anfangsbedingungen komplex. Die komplexe Lösung wird durch die Formel in eine reelle umgerechnet. Der Effektivwert kann aber ein Plus- oder Minuszeichen haben, also muss er mit einem Sinus mit variabler Phase multipliziert werden. Die Schwingungsfrequenz einer turbulenten Strömung wird durch die Drehzahl des Rotors bestimmt, daher habe ich diese Formel für die Frequenz verwendet.

j k ( T , T 0 , X 10 , X 20 , X 30 ) = R e X k ( T , T 0 , X 10 , X 20 , X 30 ) +
+ ICH M X k ( T , T 0 , X 10 , X 20 , X 30 ) S ich N [ ∫ 0 T e k P Q ∂ v Q ∂ X P D T + A R G ( X k 0 ) ]
Das Ergebnis sind chaotisch oszillierende reale Stromlinien mit einem Mittelwert gleich dem Realteil.

So wie es derzeit geschrieben steht, ist Ihre Antwort unklar. Bitte bearbeiten Sie, um zusätzliche Details hinzuzufügen, die anderen helfen zu verstehen, wie dies die gestellte Frage beantwortet. Weitere Informationen zum Verfassen guter Antworten finden Sie in der Hilfe .
Was ist die physikalische Bedeutung komplexer Eigenwerte?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v