Einige Fragen zur symplektischen Transformation

1.Seit$[,]$nicht entartet ist, sollte es einen solchen Eigenvektor geben$\eta$entspricht dem Eigenwert$\lambda'$für den Eigenvektor$\xi$entspricht dem Eigenwert$\lambda$Das$[\xi, \eta] \neq 0$, was nur möglich ist, wenn$\lambda' = \bar{\lambda}$. Also die zweidimensionale invariante Ebene$\pi_\lambda$ist nicht null.

2.Seit$\xi$ein reeller Vektor ist, gibt es eine Zahl$a$so dass$\xi = a\xi_1 + \bar{a}\xi_1$, Wo$\xi_1$ist der Eigenvektor mit dem Eigenwert$\lambda$. Dann

$$[S(a\xi_1 + \bar{a}\bar{\xi}_1), a\xi_1 + \bar{a}\bar{\xi}_1] = (\lambda - \bar{\lambda}) |a|^2 [\xi_1, \bar{\xi}_1] = (2|a|^2 Im \lambda) i(I\xi_1, \xi_1),$$ dessen Vorzeichen unabhängig von ist $a$, also unabhängig von $\xi$. Beachten Sie, dass $i(I\xi_1, \xi_1)$ist eine reelle Zahl.

3.Bezeichnen$(G\xi,\xi) = i(I\xi_1, \xi_1)$, und bezeichnen$S$von$M$. Annehmen$M$ist stabil und alle seine Eigenwerte sind Krein-definit. Wenn$M$ist nicht stark stabil, gäbe es$\{M_n\}$von instabilen symplektischen Matrizen, die zu konvergieren$M$. Entweder$M_n$hat Eigenwert außerhalb des Einheitskreises, oder$M_n$hat einen nicht halbeinfachen Eigenwert auf dem Einheitskreis. Somit gibt es eine$G$-isotroper Einheitseigenvektor$x_n$:

$$M_n x_n = \lambda_n x_n,~(Gx_n, x_n) = 0.$$ Seit $\lambda_n$ist eine Wurzel von $|M_n - z I|$, können wir aus der Folge extrahieren $\lambda_n$eine Unterfolge, die zu einer Wurzel von konvergiert $M - zI$, dh $x_n \rightarrow x, \lambda_n \rightarrow \lambda$. Dann $(Gx,x) = 0$was unmöglich ist, da alle Eigenwerte von $M$ist Krein-definit.

Umgekehrt annehmen$M$ist stark stabil. Dann alle Eigenwerte von$M$liegen auf dem Kreis und sind halbeinfach. Für jeden Eigenwert$\lambda$mit positivem Imaginärteil können wir im Eigenraum wählen$Ker(M-\lambda I)$A$G$-orthogonale Basis, sagen wir$[\xi_1, \cdots, \xi_m]$mit$(G\xi_k,\xi_k) = \pm 1$. Wir können nehmen$[\bar{\xi_1},\cdots,\bar{\xi_m}]$als Basis für den konjugierten Eigenraum$Ker(M-\bar{\lambda} I)$. Wenn$\pm 1$ein Eigenwert ist, ist der entsprechende Eigenraum reell und geradedimensional; wir können es wählen$G$-orthogonale Basis zu sein$[\xi_1,\cdots,\xi_m,\bar{\xi_1},\cdots,\bar{\xi_m}]$mit$(G\xi_k,\xi_k)=1=-(G\bar{\xi}_k,\bar{\xi}_k)$. Wenn wir alles zusammenfügen, erhalten wir a$G$-orthogonale Basis der Eigenvektoren von$[\xi_1,\cdots,\xi_n,\bar{\xi}_1,\cdots,\bar{\xi}_n]$für$C^{2n}$. Wir haben$(G\xi_k,\xi_k)=-(G\bar{\xi}_k,\bar{\xi}_k)$, und durch Umstellen der Basis können wir davon ausgehen$(G\xi_k,\xi_k)=1$für$1 \leq k \leq n$.

Angenommen, es gibt einen Eigenwert$\lambda$was nicht eindeutig ist. Es muss zwei Eigenvektoren mit Opssite haben$G$-Normen, sagen wir$\xi_1$Und$\bar{\xi}_1$Wenn$\lambda = \pm 1$, Und$\xi_1, \xi_2$Wenn$\lambda \neq \pm 1$. Definieren Sie eine lineare Transformation$M_\tau$indem man es einstellt :

$$M_\tau \xi_1 = \lambda(\xi_1 cosh\tau + \bar{\xi}_1 sinh\tau), M_\tau \bar{\xi}_1 = \lambda(\xi_1 sinh\tau + \bar{\xi}_1 cosh\tau),$$ Wenn $\lambda = \pm 1$, Und $$M_\tau \xi_1 = \lambda(\xi_1 cosh\tau + \xi_2 sinh\tau), M_\tau \xi_2= \lambda(\xi_1 sinh\tau + \xi_2 cosh\tau),$$ Wenn $\lambda \neq \pm 1$, Und $M_\tau = M$auf dem vom anderen erzeugten invarianten Unterraum $\xi_k$.

Durch den Bau,$M_\tau$ist echt (bzw$M_\tau R^{2n} \subset R^{2n}$) und symplektisch, wie wir leicht überprüfen können. Andererseits$\xi_1 + \bar{\xi}_1$(Wenn$\lambda = \pm 1$) oder$\xi_1 + \xi_2$(Wenn$\lambda \neq \pm 1$) ist ein Eigenvektor von$M_\tau$mit dem Eigenwert$\lambda e^\tau$, die außerhalb des Einheitskreises liegt, wenn$\tau > 0$. So$M_\tau$ist nicht stabil, und$M_\tau \rightarrow M$Wenn$\tau \rightarrow 0$. Dem widerspricht die Tatsache, dass$M$ist stark stabil.

Ref:

1. Arnolds „Mathematische Methoden der klassischen Mechanik“ Abschnitt 42.
2. Ivar Ekelands 'Convexity methods in Hamiltonian mechanics' Kapitel 1.