Ich arbeite an einigen Themen im Zusammenhang mit der spektralen Optimierung als Funktion der Domäne. Zum Beispiel ist seit fast einem Jahrhundert bekannt (Lord Rayleigh und Faber, Krahn), dass die Form, die den ersten Eigenwert des Laplace-Operators auf einem Gebiet mit Null-Randbedingung unter Flächenbeschränkung minimiert, eine Scheibe ist.
Formal sind die Eigenwerte die Folge positiver Werte, für die es nichttriviale Funktionen gibt so dass
Neben dem rein mathematischen Interesse an dem Problem gibt es eine nette Anwendung:
Nehmen wir an, wir wollen eine Trommel produzieren, die eine bestimmte Grundfrequenz so erzeugt, dass die Fläche der Membran minimal ist. Dann ist es am besten, eine kreisförmige Trommel zu machen. Übrigens minimiert die Kreisform auch den Umfang bei einer gegebenen Frequenz. Daher ist die kostengünstigste Trommel eine kreisförmige.
Die oben beschriebene Anwendung beschäftigt sich mit dem fundamentalen Eigenwert.
Gibt es einen physikalischen Vorteil, wenn wir Formen bauen, die den zweiten, dritten, vierten Eigenwert minimieren? (Mich interessiert der Fall, wo die Membran an der Grenze fixiert ist)
Gute Frage und schönes Stück Optimierung! Ich habe eine Weile darüber nachgedacht.
Ich kann nur von einem Punkt der physikalischen Musikakustik aus antworten. Es scheint ein interessantes Feature für Trommeldesign und -konstruktion zu sein, aber meine Überlegungen enden mit der Schlussfolgerung, dass es in der Praxis nicht sehr nützlich ist. Hier ist der Grund:
Fall 1 - Direkt angeschlagene Trommel: Der Klang ist entweder "rein perkussiv" (dh nur ein Schlag, sehr kurze Zeit, Spektrum ohne ausgeprägte Obertöne, fast ohne harmonische Abklingschwingungen - typischerweise eine kleine Trommel) oder es ist der Klang einer gestimmten Trommel Membranophone wie Pauken . Aber im letzteren Fall wird der hörbare Ton hauptsächlich durch Schwingungen des Luftvolumens innerhalb der Trommel erzeugt. Natürlich gibt es in beiden Fällen Schwingungen höherer Membranmoden, aber entweder sind sie reichlich vorhanden (das Gehäuse der kleinen Trommel) oder sie sind nicht das wichtigste Merkmal der Klangerzeugung (das Gehäuse der Pauke).
Fall 2 - Angetriebene Membran: Offensichtlich könnte dies ein nettes Feature sein, wenn man ein Membranophon mit kontinuierlichem (nicht perkussivem) Antrieb (wie brasilianische Cuíca ) betrachtet. Aber wenn Sie anfangen, mit der Trommelform zu spielen, gefährden Sie die Gleichmäßigkeit der Membranspannung, was Ihre Berechnungen sofort in die tiefste Hölle schicken würde, da die einfache Laplace-Gleichung mit Gradienten von zuvor konstanten Parametern nicht mehr gültig wäre.