Wann hat ein hermitescher Operator reelle Matrixelemente?

Ich werde die Braket-Notation verwenden, aber meine Frage ist nicht spezifisch für die Quantenmechanik. Stattdessen wäre ich an einer allgemeinen Antwort für Operatoren in einem Hilbert-Raum interessiert. Lassen H sei ein hermitescher Operator mit Eigenzuständen | ich ⟩ , so dass H | ich ⟩ = E ich | ich ⟩ , wobei einige Eigenwerte möglicherweise entartet sind. Betrachten Sie nun einen anderen hermiteschen Operator A . Dieser Operator kann in der Basis als Matrix dargestellt werden { | ich ⟩ } der Eigenvektoren von H , mit Elementen

A ich J = ⟨ ich | A | J ⟩
Hermitizität von A dann erfordert A J ich = A ich J ∗ . Im Allgemeinen können diese Matrixelemente jedoch komplex sein. Meine Frage ist folgende: Ist es möglich eine Bedingung zu formulieren A , wahrscheinlich im Zusammenhang mit H , so dass die Matrixelemente von A in der Basis gebildet durch die Eigenvektoren von H sind real, A J ich = A ich J , wenn diese Bedingung erfüllt ist?

Ich denke, in manchen Situationen kann eine einfache Multiplikation mit einem Phasenfaktor ausreichend sein. Angenommen die A ich J sind komplex, mag man schreiben

A ich J = | A ich J | e ich ϕ ich J
Betrachten Sie nun die Transformation in neue Basisvektoren, die durch gegeben sind | ich ' ⟩ = e ich v ich | ich ⟩ . Dies sind immer noch Eigenzustände von H und die Matrixelemente von A in dieser neuen Basis sind gegeben durch
A ich J ' = | A ich J | e ich ( ϕ ich J + v J − v ich )
Wenn es also eine Lösung für das gibt v ich zum Satz von N 2 Gleichungen (wo N ist die Anzahl der Eigenzustände von H , also Dimension des Hilbertraums) gegeben durch
ϕ ich J + v J − v ich = 0 ,
dann der Betreiber A kann in dieser Basis durch eine reelle Matrix dargestellt werden. Ich glaube, dass eine solche Lösung in dem Fall existiert, wenn die Phasen die Beziehung erfüllen ϕ ich J + ϕ J k = ϕ ich k . Allerdings glaube ich nicht, dass die Phasen eines allgemeinen Betreibers A diese Bedingung unbedingt erfüllen. Wenn dies nicht der Fall ist, gibt es möglicherweise keine Lösung für das Gleichungssystem, da es eine gibt N 2 Einschränkungen, aber nur N Variablen v ich zu lösen.

Gibt es einen allgemeinen Zusammenhang zwischen A Und H das führt zu einer Darstellung von A im Sinne einer Matrix mit reellen Elementen?

Antworten (1)

Ich glaube nicht, dass du es bekommst N 2 eindeutige Gleichungen, da nur Elemente außerhalb der Diagonale komplex sein können. Außerdem müssen Sie nur die oberen Off-Diagonalen berücksichtigen, da die unteren Off-Diagonalen nur ihre komplexen Konjugate sind. Das lässt Sie mit einem Gesamtsatz von N ( N − 1 ) 2 Phasen ϕ ich J . Neuskalierung der N Basisvektoren um eine beliebige Phase gibt Ihnen auch N ( N − 1 ) 2 Möglichkeiten für die Unterschiede v ich − v J .

Nehmen Sie zum Beispiel den Fall N = 3 . Wir haben die Phasen ϕ 12 , ϕ 13 , ϕ 23 für die oberen nicht-diagonalen Elemente und minus denen für die unteren nicht-diagonalen Elemente. Neuskalierung der Basiselemente haben wir

ϕ 12 = v 1 − v 2 , ϕ 13 = v 1 − v 3 , ϕ 23 = v 2 − v 3 .

BEARBEITEN: Wie Benutzer @Dvij DC betonte, funktioniert dieser Fall seitdem N ( N − 1 ) 2 = N hat eine Lösung wann N = 3 , dh die Anzahl der unabhängigen Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen für die Differenzen. In höheren Dimensionen ist die Anzahl der Gleichungen größer als die Anzahl der unabhängigen Variablen, und daher ist dies im Allgemeinen nicht möglich, es sei denn, die Phasen werden auf bestimmte Weise gewählt.

Du hast recht, dass es das geben würde N ( N − 1 ) / 2 unabhängige Gleichungen, aber die unabhängigen Variablen sind nur N , Die N v ich S. Sie können keine konsistenten Werte zuweisen N v ich s wenn Sie unabhängige Werte zuweisen möchten N ( N − 1 ) / 2 Δ v ich J S. Der Fall von N = 3 würde klappen weil N ( N − 1 ) / 2 = N für N = 3 . Lassen Sie mich wissen, wenn ich etwas vermisse.
Ja, in der Tat, Sie haben völlig Recht. Meine Antwort ist so wie sie ist falsch. Ich werde es jetzt reparieren.
@Dvij DC Ja, mir ist klar, dass dies die Frage von OP nach der Bearbeitung nicht wirklich beantwortet. Ist es in einer solchen Situation richtig, meine Antwort zu löschen?
Ich bin mir nicht sicher, tbh 😅 Aber hinterlasse einen Kommentar, der angibt, dass die Anzahl der unabhängigen Gleichungen wäre N ( N − 1 ) / 2 und nicht N 2 wenn Sie sich entscheiden, Ihre Antwort zu löschen. Es beantwortet nicht die Frage von OP beim Festlegen von Bedingungen, wann ein Operator real werden könnte, aber wenn keine so netten allgemeinen Bedingungen existieren, ist dies vielleicht die beste Antwort, die man beantworten kann. Ich persönlich würde es offen lassen, bis ein paar andere Benutzer ihre Meinung äußern.
Ich stimme zu, dass die Anzahl der unabhängigen Gleichungen auf reduziert wird N ( N − 1 ) / 2 , aber wie bereits erwähnt, gibt es nur N Variablen und diese Methode schlägt fehl N > 3 .
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