Darstellung des Operators als Blockmatrix

Question

Darstellung des Operators als Blockmatrix

Konstantin Chrizman

Ich habe zwei Betreiber, die pendeln: $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & i\\ 0 & 1 & 0\\ -i & 0 & 2 \end{pmatrix}$ Und $B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -i\sqrt{2} & i\\ i\sqrt{2} & 2 & \sqrt{2}\\ -i & \sqrt{2} & 3 \end{pmatrix}$ .

Ich wurde gebeten, Eigenwerte und Eigenvektoren des Operators zu finden $A$ , und um zu zeigen, dass wenn $A$ hat entartete Eigenwerte, dann kann man Operatoren darstellen $B$ als Blockmatrix in der Basis der Eigenvektoren von $A$ .

Meine Lösung : Ich habe festgestellt, dass die Eigenwerte von $A$ Sind $\omega_1 =3 ;\,\, \omega_{2,3}=1$ mit den entsprechenden Eigenvektoren $v_1 =\begin{pmatrix} i\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ , Und $v_2 =\begin{pmatrix} -i\cdot s\\ t\\ s \end{pmatrix}$ , entsprechend dem entarteten Eigenwert.

Jetzt muss ich eine Matrix darstellen $B$ als Block von Matrizen der Basis, die ich gefunden habe. ich weiß, dass $v_1$ simultaner Eigenvektor von ist $B$ , aber wie weiter vorgehen?

Phönix87

Wenn

v_{1}

$v_1$ wäre ein Eigenvektor, den Sie diagonalisieren könnten

B

$B$ in der Grundlage von

A

$A$ . Es ist eher der Unterraum, der von erzeugt wird

v_{1}

$v_1$ Und

v_{2}

$v_2$ Ist

B

$B$ -invariant, daher die blockdiagonale Zerlegung.

Konstantin Chrizman

Wie kann ich daraus die "Blöcke" auf der Diagonalen ableiten

B

$B$ ?

Dvij DC

Kennen Sie das Verfahren zum Ausdrücken einer beliebigen Matrix in der Eigenbasis eines Operators durch eine Ähnlichkeitstransformation unter Verwendung der Matrix, deren Zeilen/Spalten die Eigenvektoren des besagten Operators sind?

Antworten (2)

Darstellung des Operators als Blockmatrix

Wenn $v_1$ wäre ein Eigenvektor, den Sie diagonalisieren könnten $B$ in der Grundlage von $A$ . Es ist eher der Unterraum, der von erzeugt wird $v_1$ Und $v_2$ Ist $B$ -invariant, daher die blockdiagonale Zerlegung.
Wie kann ich daraus die "Blöcke" auf der Diagonalen ableiten $B$ ?
Kennen Sie das Verfahren zum Ausdrücken einer beliebigen Matrix in der Eigenbasis eines Operators durch eine Ähnlichkeitstransformation unter Verwendung der Matrix, deren Zeilen/Spalten die Eigenvektoren des besagten Operators sind?

Roger Wadim · Answer 1

Sie müssen die Form des Operators finden $\hat{B}$ ins die Basis, die durch die Eigenvektoren von gegeben ist $\hat{A}$ . Also, wenn Sie haben

\hat{A} v_{ich} = ω_{ich} v_{ich},

$\hat{A}\mathbf{v}_i = \omega_i\mathbf{v}_i,$ Sie müssen alle Matrixelemente berechnen

B_{ich J} = v_{ich}^{T} \cdot \hat{B} \cdot v_{J},

$b_{ij} = \mathbf{v}_i^T\cdot\hat{B}\cdot\mathbf{v}_j,$ Schreiben Sie sie als Matrix auf und ordnen Sie die Zeilen gegebenenfalls neu an.

Es ist mir nicht gestattet, die vollständige Antwort zu geben, aber ich vermute, dass Sie eine haben $1\times 1$ Block, der dem Eigenvektor entspricht, der der Eigenvektor der beiden Matrizen ist, und eine Nicht-Diagonale $2\times 2$ Block für die verbleibenden zwei Eigenvektoren.

Wie kommt es, dass einer von ihnen eine Matrix sein kann? Wenn ich versuche, es zu berechnen, sollte es auch nur mit den Matrix- / Vektordimensionen sein $1 x 1$ Block, (Skalar) überall, oder irre ich mich?
Ich denke, Sie sind verwirrt darüber, was eine Blockdiagonalmatrix ist. Für $1\times 1$ Block gibt es nur ein Diagonalelement.
Übrigens müssen Sie zuerst Ihre Eigenvektoren normalisieren und orthogonalisieren $v_2$ Und $v_3$ .

sluzifer · Answer 2

Seit $v_2=\begin{pmatrix}-is\\t\\s\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-i\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ , daher wähle ich meinen Basissatz als

e_{1} = (\begin{matrix} ich \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$e_1=\begin{pmatrix}i\\0\\1\end{pmatrix}$

e_{2} = (\begin{matrix} - ich \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$e_2=\begin{pmatrix}-i\\0\\1\end{pmatrix}$

e_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

$e_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ Jetzt können Sie leicht überprüfen, ob diese Matrix mit B identisch ist.

B = (\begin{matrix} (- 2 ich e_{1} + ich e_{2} + \sqrt{2} e_{3}) (\sqrt{2} e_{2} + 2 e_{3}) (2 e_{1} + e_{2} + \sqrt{2} e_{3}) \end{matrix})

$B=\begin{pmatrix}(-2ie_1+ie_2+\sqrt{2}e_3)\quad(\sqrt{2}e_2+2e_3)\quad(2e_1+e_2+\sqrt{2}e_3)\ \ \end{pmatrix}$

Danke, aber ist es von hier aus möglich, die Blöcke der Matrix herauszufinden?
Die endgültige Matrix kann als Blockmatrix betrachtet werden $e_1,e_2,e_3$ sind Matrizen, aber wenn Sie eine quadratische Matrix in Form von Quadratblöcken schreiben möchten, können Sie nicht schreiben, da die Basisvektoren keine quadratischen Matrizen sind.

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Phönix87

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Roger Wadim

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