Wie werden Matrizen zur Darstellung von Größen verwendet und was ist die Bedeutung einer Matrix?

Also lese ich diesen Text über Quantenmechanik, und er geht durch ein paar Kapitel, die ich ziemlich gut verstehe, einschließlich Wahrscheinlichkeit. Aber dann heißt es, dass alle Größen, wie Position und Energie eines Objekts, in einer Matrix dargestellt werden und dass Größen zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben. Ich verstehe das irgendwie, obwohl ich ein wenig unklar bin, ob wir über vollständige m-by-n-Matrizen oder nur über Vektoren sprechen. Wenn es Vektoren sind, ja, damit bin ich irgendwie vertraut. Aber wenn nicht, wie verwenden Sie eine vollständige m-mal-n-Matrix, um eine Menge darzustellen?

Und dann weiter unten heißt es das ⟨ M ⟩ ist der Mittelwert einer Matrix, sagt aber nicht, was das ist. Ist es der Durchschnitt aller Koordinaten in der Matrix, so ist es

1 M N ∑ ( ich , J ) ∈ ⌜ M ⌝ × ⌜ N ⌝ A ich J ,
oder soll jede der Spalten separate Mengen darstellen und dann schätze ich, dass der Mittelwert ein Vektor der Mittelwerte der Spalten ist?

Die einzige Anleitung, die der Text diesbezüglich gibt, lautet: „Einige der Grundregeln der Quantenmechanik beinhalten einfache Beziehungen zwischen Größen, ausgedrückt in Form von Matrizen, und entsprechende Beziehungen zwischen Mittelwerten. Betrachten Sie eine Größe, die durch eine Matrix dargestellt wird M . Lassen ⟨ M ⟩ bezeichnet seinen Mittelwert. Für jede Zahl z , die Matrix z M stellt die ursprüngliche Menge multipliziert mit dar z . Sein Mittelwert ist ⟨ z M ⟩ = z ⟨ M ⟩ ." Und so weiter. Aber nirgends definiert es den Mittelwert einer Matrix, es springt einfach in diese Notation. Eine schnelle Websuche hat gezeigt, dass es keinen Konsens darüber zu geben scheint, was mit dem Mittelwert einer Matrix gemeint ist, die a darstellt Menge.

Schauen Sie sich die Erwartungswerte an. Sie betrachten einen Erwartungswert, der leider auch als Mittelwert bezeichnet wird, um quantenmechanische Ergebnisse mit denen der statistischen Mechanik in Beziehung zu setzen.
Erfahren Sie mehr über lineare Operatoren im Zusammenhang mit linearen Vektorräumen. Verstehen Sie dann, wie lineare Operatoren durch Matrizen dargestellt werden können, nachdem Sie eine Basis für den linearen Vektorraum ausgewählt haben. Diese Ideen werden auf die Quantenmechanik übertragen, wo man mit Hilbert-Räumen arbeitet (die unendlich dimensionale lineare Vektorräume mit einigen zusätzlichen Bedingungen sind).
@suresh, ich kenne lineare Operatoren und wie sie mit Matrizen identifiziert werden. Ich kenne nur den Zusammenhang zwischen dem und der Physik nicht.
OK. Die Schlüsselidee ist, dass alle physikalischen Größen wie Impuls, Position, Energie in der QM als hermitische Operatoren realisiert werden, die auf einem Hilbert-Raum wirken. Die Wahl einer Basis macht sie typischerweise zu linearen Differentialoperatoren oder unendlich dimensionalen Matrizen.

Antworten (1)

Haftungsausschluss unten. Ich gehe davon aus, dass wir mit dem unendlichen Fall (kontinuierliche Position) arbeiten. Ein paar Dinge, die Ihnen helfen können:

  1. In der Quantenmechanik ⟨ A ^ ⟩ wird normalerweise als definiert ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ ψ ⟩ . Wenn Sie nicht gegeben sind ψ Sie können nicht finden ⟨ A ^ ⟩ , was Ihre Schwierigkeit erklären würde, eine Definition zu finden. Es wird nicht als Durchschnitt bezeichnet, sondern normalerweise als Erwartungswert des Operators über psi.
  2. In Bezug auf den Positionsoperator gibt die Wikipedia-Seite an, dass er durch die Tatsache motiviert ist, dass die erwartete x-Position sein sollte: ⟨ X ^ ⟩ = ∫ X | ψ ( X ) | 2 D X = ∫ ψ ∗ X ψ D X = ∫ ψ ∗ X ^ ψ D X = ⟨ ψ | X ^ | ψ ⟩ , Wo X ^ ist der in der Positionsdarstellung definierte Operator X ^ ψ ( X ) = X ψ ( X ) .
  3. Ich denke, es gibt andere Motivationen für den Positionsoperator. Eine Funktion, die es hat, ist, dass if | X ⟩ ist ein Eigenvektor von X ^ , dann das innere Produkt ⟨ X | ψ ⟩ gibt Ihnen den Wert von | ψ ⟩ an Stelle | X ⟩ . | X ⟩ bei der Positionsdarstellung handelt es sich in diesem Fall um eine Delta-Funktion, X ( X ) = δ ( X − X 0 ) , so dass ⟨ X | ψ ⟩ = ψ ( X 0 ) , was perfekt ist, weil es einen scharfen Wert von auswählt ψ wie gewünscht.

Die konzeptionelle Verrücktheit und die Tatsache, dass ich so unspezifisch bin (in Bezug auf | ψ ⟩ anstatt ψ ( X ) ) liegt daran, dass Sie in einem Vektorraum arbeiten (ausgerechnet ψ ) und Sie können die Basis nach Belieben ändern, und daher ist die Positionsdarstellung wirklich nicht grundlegend (zumindest mathematisch - ich bin mir physikalisch nicht so sicher).

Also Kurzversion:

  1. ⟨ A ^ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = ∫ ψ ∗ ( X ) A ^ ψ ( X ) D X (letzteres gilt nur in der Ortsdarstellung)

  2. X ^ ein Operator ist (Matrix im endlichdimensionalen Fall), seine Eigenvektoren | X ⟩ sind Vektoren, und Sie können das Skalarprodukt verwenden ⟨ X | ψ ⟩ um den Wert der Wellenfunktion an Position herauszulesen | X ⟩ .

Haftungsausschluss: Ich stehe immer noch auf sehr, sehr, sehr wackeligem Boden in Bezug auf QM, also korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege.

Ich sehe nichts Falsches daran. Zusammenfassend für das OP: Wenn Sie sich Operatoren als Matrizen vorstellen, ist der "Mittelwert" (den jedes andere Buch, das ich gesehen habe, als "Erwartungswert" bezeichnet wird) die linke Multiplikation mit einem stillschweigend vereinbarten Zeilenvektor und die rechte Multiplikation durch den entsprechenden Spaltenvektor.
Mann, Jahre später weiß ich viel mehr Mathematik, und ich habe immer noch genau null Ahnung, was diese Antwort überhaupt sagt. Bizarr, dass ein Buch, in dem steht, dass Sie nur ein wenig lineare Algebra und Analysis beherrschen müssen, für eine Person, die sich mit fortgeschrittener linearer Algebra und Analyse auskennt, unlesbar ist. Ich denke, Physiker sind ein wenig verblendet darüber, auf wie viele Hintergrundinformationen sie sich beziehen, wenn sie Dinge sagen.
Wie werden Matrizen zur Darstellung von Größen verwendet und was ist die Bedeutung einer Matrix?
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