Erwartungswert eines imaginären Operators, der auf eine reelle Funktion einwirkt

Question

Erwartungswert eines imaginären Operators, der auf eine reelle Funktion einwirkt

Physik
Betreiber
Hilbert-Raum
komplexe Zahlen
Matrix-Elemente
Quantenmechanik

JK

In einem Video ( http://youtu.be/r_gBQ_qhg8U?t=9m58s ) wird behauptet, dass ein Matrixelement eines imaginären Operators, der auf eine reelle Wellenfunktion einwirkt, Null ist, dh

⟨ real | imaginär | real ⟩ = 0,

$\langle\text{real}|\text{imaginary}|\text{real}\rangle ~=~ 0,$ und ich verstehe nicht wirklich warum.

Wenn wir eine tatsächliche Berechnung durchführen, wird das nicht der Fall sein $i$ aus $l_z$ einfach vor das Integral schieben und keinen Einfluss auf dessen eigentlichen Wert haben?

Daniel Sank

Willkommen bei Physics Stack Exchange. Was ist ein „imaginärer Operator“? Viele Benutzer dieser Website klicken nicht auf Links zu Videos. Es ist tatsächlich eine Site-Richtlinie, dass Sie alles, was Sie von einem beliebigen Link benötigen, direkt in die Frage aufnehmen . Dies hat mehrere Vorteile: 1) Es vermeidet Linkfäule, 2) Es zwingt Sie, darüber nachzudenken, welches Material im Link wirklich relevant ist, was Ihnen oft hilft, Ihr eigenes Problem zu lösen, 3) Es macht den Beitrag viel einfacher zu verstehen , und bedeutet daher, dass Sie mit größerer Wahrscheinlichkeit eine Antwort erhalten.

QMechaniker

Hinweis zur Frage (v1): Kann der Erwartungswert eines selbstadjungierten Operators sein

{\hat{L}}_{z}

$\hat{L}_z$ eingebildet sein? Etwas verwandt: physical.stackexchange.com/q/16678/2451

JK

Das ist irgendwie das Problem ... Diese Aussage wird einfach in das Video geworfen und dort nicht so viel Begründung geliefert. Ich dachte, dass ich hier vielleicht etwas sehr Grundlegendes übersehe und beschloss, es hier zu klären. Zumindest sehe ich jetzt, dass ich nicht der einzige bin, der davon verwirrt ist. :)

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Erwartungswert eines imaginären Operators, der auf eine reelle Funktion einwirkt

Willkommen bei Physics Stack Exchange. Was ist ein „imaginärer Operator“? Viele Benutzer dieser Website klicken nicht auf Links zu Videos. Es ist tatsächlich eine Site-Richtlinie, dass Sie alles, was Sie von einem beliebigen Link benötigen, direkt in die Frage aufnehmen . Dies hat mehrere Vorteile: 1) Es vermeidet Linkfäule, 2) Es zwingt Sie, darüber nachzudenken, welches Material im Link wirklich relevant ist, was Ihnen oft hilft, Ihr eigenes Problem zu lösen, 3) Es macht den Beitrag viel einfacher zu verstehen , und bedeutet daher, dass Sie mit größerer Wahrscheinlichkeit eine Antwort erhalten.
Hinweis zur Frage (v1): Kann der Erwartungswert eines selbstadjungierten Operators sein $\hat{L}_z$ eingebildet sein? Etwas verwandt: physical.stackexchange.com/q/16678/2451
Das ist irgendwie das Problem ... Diese Aussage wird einfach in das Video geworfen und dort nicht so viel Begründung geliefert. Ich dachte, dass ich hier vielleicht etwas sehr Grundlegendes übersehe und beschloss, es hier zu klären. Zumindest sehe ich jetzt, dass ich nicht der einzige bin, der davon verwirrt ist. :)

Jannik · Answer 1

Ich kenne den Begriff "imaginärer Operator" nicht. Ich nehme an, dass dies ein antihermitescher Operator ist, dessen Eigenwerte rein imaginär sind. Dann stimmt die Aussage eindeutig nicht. Nehmen Sie als Gegenbeispiel einen hermiteschen Operator $\hat{A}$ und echte Wellenfunktion $\psi$ mit $\langle \psi | \hat{A} |\psi\rangle = A_\psi \neq 0$ . $A_\psi$ ist natürlich echt. Nimm jetzt $\hat{B} = i \hat{A}$ , was antihermitesch ist. Es folgt

⟨ ψ | \hat{B} | ψ ⟩ = ich ⟨ ψ | \hat{A} | ψ ⟩ = ich A_{ψ} \neq 0

$\langle \psi | \hat{B} |\psi\rangle =i \langle \psi | \hat{A} |\psi\rangle=i A_\psi\neq 0$

QMechaniker · Answer 2

Im Video betrachtet Prof. G. Rangarajan den Erwartungswert

R ∋ ⟨ ψ | \underset{selbstjust.}{\underset{⏟}{{\hat{L}}_{z}}} | ψ ⟩ = \int D^{3} R \underset{real}{\underset{⏟}{\bar{ψ (R)}}} \underset{imaginär}{\underset{⏟}{(- ich ℏ) \frac{\partial}{\partial φ}}} \underset{real}{\underset{⏟}{ψ (R)}} \in ich R .

$\mathbb{R}~\ni~ \langle \psi |\underbrace{\hat{L}_z}_{\text{self-adj.}} |\psi \rangle ~=~ \int\! d^3r ~\underbrace{\overline{\psi({\bf r})}}_{\text{real}} \underbrace{ (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial \varphi}}_{\text{imaginary}} \underbrace{\psi({\bf r})}_{\text{real}} ~\in~i\mathbb{R}.$

Mit anderen Worten, es sollte sowohl real als auch imaginär sein. Er kommt zu dem Schluss, dass es Null sein muss.

Erwartungswert eines imaginären Operators, der auf eine reelle Funktion einwirkt

JK

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