Was ist der Generator eines anti-unitären Operators?

Question

Was ist der Generator eines anti-unitären Operators?

Chetan Waghela

Da der Generator eines Unitary-Operators ein hermitescher Operator ist, ist der Generator eines Anti-Unitary- Operators Anti-Hermitesch?

Antworten (1)

Was ist der Generator eines anti-unitären Operators?

Valter Moretti · Answer 1

Ich denke du meinst folgendes. Betrachten Sie eine (stark stetige) Ein-Parameter-Gruppe unitärer Operatoren $\mathbb R \ni t \mapsto U_t$ . Dann impliziert der Satz von Stone dies

U_{T} = e^{ich T A}

$U_t= e^{itA}$ für einen selbstadjungierten Operator

A

$A$ . Ebenso lassen

R ∋ t \mapsto U_{t}

$\mathbb R \ni t \mapsto U_t$ eine (stark stetige) einparametrige Gruppe anti -unitärer Operatoren sein. Gibt es eine entsprechende Version von Stones Theorem wo

U_{T} = e^{ich T A}

$U_t= e^{itA}$ für einen anti -selbstadjungierten Operator

A

$A$ ?

Die Antwort ist einfach deshalb negativ, weil es so etwas wie eine Ein-Parameter-Gruppe anti -unitärer Operatoren nicht gibt . Seit $U_t = U_{t/2}U_{t/2}$ , jeden $U_t$ muss linear sein, auch wenn $U_{t/2}$ ist antilinear (das Produkt zweier antilinearer Operatoren ist linear).

Aus diesem Grund beschreiben antiunitäre Operatoren nur diskrete Symmetrien.

Ich brauche eine Klarstellung. In der C*-Algebra ist das Produkt zweier Operatoren eher A*A und nicht AA, also sollte Ut nicht Ut/2*Ut/2 sein?
Ich verstehe nicht, hier $C^*$ -Algebren sind ziemlich irrelevant. Jedoch das Produkt in a $C^*$ Algbera ist $AA$ nicht $A^*A$ ... Eine Ein-Parameter-Gruppe von Operatoren (der einzige Begriff, der hier zählt) ist eine Karte $\mathbb R \ni s \mapsto A_s \in B(\cal H)$ so dass $A_0=I$ Und $A_sA_{s'}= A_{s+s'}$ ...

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Chetan Waghela

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