Einzelne Terme in einer Hamilton-Matrix

Es funktioniert wie in der klassischen Mechanik: Der Hamiltonoperator erzeugt infinitesimale Zeitverschiebungen. Nehmen Sie die Schrödinger-Gleichung,

$$i \frac{d}{dt} | \psi \rangle = H |\psi \rangle$$ und erweitern Sie es für kleine Zeiten. Dann $$|\psi(t)\rangle \approx (1 - iHt) |\psi(0) \rangle.$$ Das ist, $H|\psi \rangle$sagt dir was $|\psi \rangle$wird sich sofort entwickeln. Wenn, $\langle 2 | H | 1 \rangle = 0$, gibt es keine Entwicklung von Zustand 1 zu Zustand 2.

Sie können das Problem direkt lösen. Unter der Annahme einer Schrödinger-ähnlichen Gleichung mit einem sehr einfachen "Hamiltonian",

$$i \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \end{array} \right],$$ Es ist einfach zu zeigen, dass die Lösung dieser Gleichung ist $$|\psi(t) \rangle \to e^{-it}\left[ \begin{array}{c} \psi_1(0) -it \psi_2(0) \\ \psi_2(0) \end{array} \right].$$ Also, wenn das System im Zustand startet $$|\psi(0) \rangle \to \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right],$$ Dies bedeutet, dass $\psi_2(0) = 0$, und es ist klar, dass das System im Zustand 1 bleibt.

Dies kann leicht auf den allgemeinen Hamiltonian im OP verallgemeinert werden, aber dies reicht aus, um den Punkt zu verdeutlichen.