Matrixdarstellung des Operators S^xS^x\hat{S}_x in der Standardbasis

Question

Matrixdarstellung des Operators S^xS^x\hat{S}_x in der Standardbasis

Benutzer254780

Ich bin kürzlich in die Idee der spektralen Zerlegung von Spindrehimpulsoperatoren in der Quantenmechanik eingeführt worden.

Aus Neugier habe ich mich gefragt, ob der Spin-Drehimpuls-Operator ist $\hat S_x$ könnte (in der angegebenen Standardbasis) in Matrixform geschrieben werden, gegeben durch $|↑\rangle =$ $\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ Und $|↓\rangle =$ $\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$

Ich habe die spektrale Zerlegung der $\hat S_x$ Operator:

\begin{aligned} {\hat{S}}_{X} = \frac{ℏ}{2} (| ↓ ⟩ ⟨ ↑ | + | ↑ ⟩ ⟨ ↓ |) . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{S}_x=\frac{\hbar}{2}(|\downarrow\rangle\langle\uparrow|+|\uparrow\rangle\langle\downarrow|). \end{align}$

Und die Matrix in der gegebenen Standardbasis wäre wie folgt:

(\begin{matrix} ⟨ ↑ | {\hat{S}}_{X} | ↑ ⟩ & ⟨ ↑ | {\hat{S}}_{X} | ↓ ⟩ \\ ⟨ ↓ | {\hat{S}}_{X} | ↑ ⟩ & ⟨ ↓ | {\hat{S}}_{X} | ↓ ⟩ \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \langle\uparrow|\hat S_x|\uparrow\rangle & \langle\uparrow|\hat S_x|\downarrow\rangle\\ \langle\downarrow|\hat S_x|\uparrow\rangle\ & \langle\downarrow|\hat S_x|\downarrow\rangle\end{pmatrix}$

Ist dies möglich und wenn ja, ob meine Darstellung der Matrix korrekt ist?

Antworten (2)

Matrixdarstellung des Operators S^xS^x\hat{S}_x in der Standardbasis

Köcher · Answer 1

Aus dem Formular, das Sie dem Betreiber gegeben haben $S_x$ und dem Basisvektor, den Sie angegeben haben, können Sie leicht die Matrixdarstellung davon berechnen. Seit

S_{X} = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |)

$S_x = \frac{\hbar}{2}(|\uparrow\rangle\langle\downarrow|+|\downarrow\rangle\langle\uparrow|)$

Und

| ↑ ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) ⟹ ⟨ ↑ | = (1 0) | ↓ ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) ⟹ ⟨ ↓ | = (0 1)

$|\uparrow\rangle = \left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)\implies\langle\uparrow| = \left(1\;\;\;\;0\right)\\ |\downarrow\rangle = \left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)\implies\langle\downarrow| = \left(0\;\;\;\;1\right)$

mit einfacher Matrizenmultiplikation erhalten Sie

| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (0 1) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) | ↓ ⟩ ⟨ ↑ | = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) (1 0) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$|\uparrow\rangle\langle\downarrow| = \left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right) \left(0\;\;\;\;1\right) = \left(\begin{matrix} 0&1\\ 0&0 \end{matrix}\right)\\ |\downarrow\rangle\langle\uparrow| = \left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right) \left(1\;\;\;\;0\right) = \left(\begin{matrix} 0&0\\ 1&0 \end{matrix}\right)$

und damit die Matrixdarstellung des Operators gerecht ist

S_{X} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$S_x = \frac{\hbar}{2}\left(\begin{matrix} 0&1\\ 1&0 \end{matrix}\right)$

das ist nur eine der Pauli-Matrizen . Dies ergibt auch das Ergebnis von Elementen der Matrix, die Sie angegeben haben, die tatsächlich korrekt sind.

Multiplikation der Bonusmatrix

Ich finde, dass viele Leute nicht verstehen, wie man eine Matrixmultiplikation mit einfachen Vektoren durchführt, also wollte ich jedem, der diese Antwort gefunden hat, eine Erklärung auf farbenfrohe Weise geben. Ich werde nur eine der beiden Matrizen in der Antwort auswerten

| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (0 1) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$|\uparrow\rangle\langle\downarrow| = \left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right) \left(0\;\;\;\;1\right) = \left(\begin{matrix} 0&1\\ 0&0 \end{matrix}\right)$

Die Multiplikation erfolgt durch zeilenweise Multiplikation. Im ersten Schritt nehmen wir das erste Zeilenelement des ersten Vektors und multiplizieren es mit dem ersten Element der ersten Spalte des zweiten Vektors

| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (0 1) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) Erste Zeile - erste Spalte

$|\uparrow\rangle\langle\downarrow| = \left(\begin{matrix}\color{red}{1}\\0\end{matrix}\right) \left(\color{red}{0}\;\;\;\;1\right) = \left(\begin{matrix} \color{red}{0}&1\\ 0&0 \end{matrix}\right) \qquad \text{First row - first column}$

und so weiter für die restlichen Elemente

| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (0 1) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) Erste Zeile - zweite Spalte | ↑ ⟩ ⟨ ↓ | = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (0 1) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) Zweite Reihe - erste Spalte | ↑ ⟩ ⟨ ↓ | = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (0 1) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) Zweite Zeile - zweite Spalte

$|\uparrow\rangle\langle\downarrow| = \left(\begin{matrix}\color{green}{1}\\0\end{matrix}\right) \left(0\;\;\;\;\color{green}{1}\right) = \left(\begin{matrix} 0&\color{green}{1}\\ 0&0 \end{matrix}\right)\qquad\text{First row - second column}\\ |\uparrow\rangle\langle\downarrow| = \left(\begin{matrix}1\\\color{blue}{0}\end{matrix}\right) \left(\color{blue}{0}\;\;\;\;1\right) = \left(\begin{matrix} 0&1\\ \color{blue}{0}&0 \end{matrix}\right)\qquad\text{Second row - first column}\\ |\uparrow\rangle\langle\downarrow| = \left(\begin{matrix}1\\\color{orange}{0}\end{matrix}\right) \left(0\;\;\;\;\color{orange}{1}\right) = \left(\begin{matrix} 0&1\\ 0&\color{orange}{0} \end{matrix}\right)\qquad\text{Second row - second column}$

Hoffe, es wird jemandem nützlich sein

Fast richtig. Aber der Vorfaktor von $S_x$ sollte sein $\frac{\hbar}{2}$ anstatt $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Da es sich um eine Pauli-Matrix handelt, ist dieser Operator sowohl unitär als auch hermitesch. Ist es ein projektiver Operator?
@ GavinK14 Sie sollten die Definition eines projektiven Operators verwenden, wenn dies tatsächlich ein Projektionsoperator ist, werden alle erforderlichen Bedingungen erfüllt

Nikita · Answer 2

Ja, es ist möglich. Ihre Darstellung ist richtig. Es ist leicht zu überprüfen, indem Sie die explizite Form von verwenden $\hat{S}_x$ :

(\begin{matrix} ⟨ ↑ | {\hat{S}}_{X} | ↑ ⟩ & ⟨ ↑ | {\hat{S}}_{X} | ↓ ⟩ \\ ⟨ ↓ | {\hat{S}}_{X} | ↑ ⟩ & ⟨ ↓ | {\hat{S}}_{X} | ↓ ⟩ \end{matrix}) = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = \frac{ℏ}{2} σ_{X}

$\begin{pmatrix} \langle\uparrow|\hat S_x|\uparrow\rangle & \langle\uparrow|\hat S_x|\downarrow\rangle\\ \langle\downarrow|\hat S_x|\uparrow\rangle\ & \langle\downarrow|\hat S_x|\downarrow\rangle\end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2} \sigma_x$

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