Definition eines Operators in der Quantenmechanik

Dies würden Informatiker (ad-hoc) polymorphe oder „überladene“ Funktionen nennen: im Grunde einen Operator$X$auf dem Hilbertraum$\mathcal{H}$ist nicht nur eine Funktion$X: \mathcal{H}\to\mathcal{H}$, sondern eine Familie von zwei Funktionen

$$X = \{ X_{\mathcal{H}}, \quad X_{\mathcal{H}^\ast} \}$$ mit $$X_{\mathcal{H}}: \mathcal{H}\to\mathcal{H}, \quad X_{\mathcal{H}^\ast}: \mathcal{H}^\ast\to\mathcal{H}^\ast$$ Da der duale Raum eines Hilbert-Raums (der „Raum der Bra-Vektoren“) ein anderer Raum ist als $\mathcal{H}$selbst, es ist immer eindeutig, welche der beiden Funktionen Sie bei der Anwendung meinen $X$entweder zu einem Ket oder einem BH.

Und die Definition von$X_{\mathcal{H}^\ast}$folgt direkt aus dem von$X_{\mathcal{H}}$und umgekehrt. Dies ist leicht in eine Richtung zu sehen:

$$\bigl(X_{\mathcal{H}^\ast}(\langle f|)\bigr)(|v\rangle) = \langle f| \bigl(X_\mathcal{H}(|v\rangle)\bigr)$$ Umgekehrt müssen wir den Riesz-Darstellungssatz : for any anwenden $|v\rangle \in \mathcal{H}$, Lassen $$\begin{align} \langle X_v^\ast| & \in\mathcal{H}^\ast \\ \langle X_v^\ast| &:= X_{\mathcal{H}^\ast}\bigl(\langle . , v\rangle\bigr). \end{align}$$ woher $\langle . , v\rangle$Ich meine die Funktion $$\begin{align} v^\ast & \in \mathcal{H}^\ast \\ v^\ast(w) & := \langle w,v\rangle \end{align}$$ (Dies ist jetzt keine Anwendung von dualen Vektoren, sondern das eigentliche Skalarprodukt, das mit dem Hilbert-Raum einhergeht!)

Dann sagt uns Riesz, dass dies einem einzigartigen Element entspricht$X_v\in\mathcal{H}$, damit wir definieren können

$$X_{\mathcal H}(|v\rangle) := X_v.$$ Und weil Physiker faul sind (gute Eigenschaft, obwohl einige es übertreiben), vermeiden sie alle „offensichtlichen“ Klammern usw. und gehen einfach davon aus, dass der Leser weiß, wie der Operator angewendet werden muss, in welchem ​​​​Raum er lebt usw. Das Wechseln zwischen einer Bra- und einer Ket-Version eines Zustands ruft implizit immer den Riesz-Darstellungssatz auf, aber darüber wird selten gesprochen.

Die Aktion (nach rechts) auf den Ket-Raum induziert natürlich eine Aktion (nach links) auf den BH-Raum. Der BH-Raum ist der duale Raum des Ket-Raums (das ist der Raum der linearen Funktionale über den Kets). Wir können einfach definieren$\left< \psi \right| X$durch seine Wirkung auf Kets (oder, da es linear ist, auf der Grundlage von Ket-Raum und linearer Erweiterung):

$$\big(\left< \psi \right| X\big) \left| \phi \right> := \left< \psi \right| \big( X \left| \phi \right>\big).$$ Solche Definitionen sind auch in der reinen Mathematik üblich. Wenn Sie pedantisch sein wollen, können Sie eine Notation verwenden, z $\iota(X)$, für die induzierten Operator auf dem dualen Raum.