Intuition über die GNS-Konstruktion und ihre Beziehung zur üblichen Quantenmechanik

Die Grundidee der GNS-Konstruktion besteht darin, dass Sie einen einzigen Zustand verwenden (häufig ist dies das Vakuum, wenn wir im flachen Raum arbeiten), um den gesamten Hilbert-Raum nachzubilden. Dies hängt tatsächlich mit der Zyklizität zusammen: Die Menge aller Vektoren, die durch die Wirkung der Algebra auf das Vakuum erzeugt werden, ist dicht im resultierenden Hilbert-Raum. Um also den vollen Hilbert-Raum zu generieren, wenden Sie einfach jedes Mitglied von an$C^*$-Algebra, um eine dichte Teilmenge des Hilbert-Raums zu erzeugen, dann führen Sie die Cauchy-Vervollständigung dieser aus, um den vollständigen Hilbert-Raum zu erzeugen.

Eine einfache Möglichkeit, die übliche Darstellung als Hilbert-Raum wiederherzustellen, besteht darin, das Produkt dreier Elemente der Algebra und dann ihre Darstellung zu betrachten$\pi$als Hilbertraumoperatoren wird

Dann können Sie einfach die Zustände definieren$\vert \psi \rangle = \pi(C) \vert \omega \rangle$Und$\vert \phi \rangle = \pi(A) \vert \omega \rangle$, dann wird Ihr Zustand

Dies wird dann der übliche Übergang zwischen zwei Zuständen.

Ein einfaches Beispiel dafür wäre zum Beispiel die Betrachtung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf dem Vakuum. Sie bilden eine$C^*$Algebra, und sie können auf den Vakuumzustand einwirken, um eine beliebige Anzahl von Zuständen zu erzeugen, die einen Hilbert-Raum bilden. Auf der anderen Seite wird Ihnen keine Menge an Anwendung von Erstellungsoperatoren auf das Vakuum den Zustand geben, der durch den Fock-Zustand definiert ist

Wenn wir diesen Zustand als Basis verwendet hätten$\omega$, hätten wir eine unitär inäquivalente Theorie.

In umgekehrter Reihenfolge:

1. Zyklizität sollte als eine Art Irreduzibilitätsbedingung betrachtet werden. Beachten Sie, dass jeder Vektor einer irreduziblen Darstellung zyklisch ist und dass daher die Existenz eines nichtzyklischen Vektors auf Reduzierbarkeit hindeuten würde. Die Zyklizität hat also wenig Bedeutung über die übliche Idee hinaus, alle irreduziblen Darstellungen zu untersuchen, da diese zusammen alle relevanten Informationen über die Algebra enthalten. Ein erwähnenswerter Aspekt ist, dass die anspruchsvolle Zyklizität die GNS-Konstruktion einzigartig macht – es kann viele Räume geben, in denen ein gegebener abstrakter Zustand durch einen Vektor dargestellt wird, aber alle Darstellungen, in denen er zyklisch ist, sind einheitlich isomorph.

2. Die Beziehung zwischen Zuständen und Vektoren ist die folgende: In einer Richtung, von Vektoren zu Zuständen, haben wir das für jede Darstellung$\rho : \mathcal{A}\to \mathrm{B}(H)$auf einem Hilbertraum$H$mit beschränkten Operatoren$\mathrm{B}(H)$und jeden Vektor$v\in H$, die Karte$\mathcal{A}\to\mathbb{C}, A\mapsto \langle v\vert \rho(A)\vert v\rangle$ist ein Zustand im abstrakten Sinne. Umgekehrt ist es gerade der Punkt der GNS-Konstruktion, dass man zu jedem abstrakten Zustand einen Hilbert-Raum finden kann, so dass der Zustand in diesem Sinne durch einen Vektor auf diesem Raum gegeben ist.

3. Ich sehe nichts Intuitives daran (und ich bin etwas verwirrt, welche Art von Intuition Sie für abstrakt erwarten$C^\ast$-Algebren), aber physikalisch versichert uns die GNS-Konstruktion, dass das Abstrakte$C^\ast$-algebraische Perspektive und der traditionelle Ansatz, der mit einer Algebra von Observablen auf einem Hilbert-Raum beginnt, sind äquivalent: Die direkte Summe über alle GNS-Darstellungen, die mit (reinen) Zuständen der Algebra verbunden sind$\mathcal{A}$ist treu und eine Isometrie, das heißt, die abstrakte Algebra ist isometrisch isomorph zur Algebra der beschränkten Operatoren auf diesem Hilbert-Raum. Daher macht es für die Ergebnisse keinen Unterschied, ob wir die „abstrakte“ oder die „konkrete“ Sichtweise einnehmen. Dies ist der Inhalt des Satzes von Gel'fand-Naimark .

Als Physiker verstehe ich GNS wie folgt.

Kurzfassung

Bei gegebenen Observablen, Erwartungswerten und Symmetrien können wir die übliche QM mit ihrem Hilbert-Raum, ihrer Definition von Erwartungswerten als "Sandwiches" und ihrer üblichen einheitlichen Darstellung von Symmetrien rekonstruieren.

formellere Version

Wir geben uns

• eine Algebra$\mathcal{A}$stabil unter$A \mapsto A^*$: diese sind mit unseren Betreibern zu identifizieren;
• eine Funktion$\omega$Zuordnen einer komplexen Zahl zu jedem Element dieser Algebra: das sind die Erwartungswerte der Operatoren;
• eine Symmetriegruppe$G$Handeln auf dieser Algebra so dass
  • jede Symmetrie$s$erfüllt$s(AB)=s(A)s(B)$,
  • und es geht$\omega$unveränderlich:$\omega(s(A))=\omega(A)$.

Dann konstruiert GNS:

• ein Hilbertraum$\mathcal{H}$,
• ein Vakuumvektor$\mid 0\rangle$,
• eine Repräsentation$\phi$der Algebra$\mathcal{A}$, dh eine Zuordnung von$\mathcal{A}$auf zu$\mathcal{H}$so dass$\phi(AB)=\phi(A)\phi(B)$, die außerdem die Eigenschaft hat, dass die Erwartung eines Elements$A \in \mathcal{A}$ist die Quantenerwartung von$\phi(A)$: $$\omega(A) = \langle 0\mid\phi(A)\mid 0\rangle$$
• eine einheitliche Darstellung der Symmetriegruppe, die die Symmetrie auf den Hilbertraum bringt, dh zu jedem$s \in G$ist ein unitärer Operator zugeordnet$U_s$auf dem Hilbert-Raum, so dass $$\phi(s(A))=U_s\phi(A)U_s^*$$

Zyklizität des Vakuums

Die Kurzversion ist, dass wir durch Anwenden aller Operatordarstellungen auf das Vakuum fast alle Elemente von erhalten$\mathcal{H}$. Die rigorose Version ist die$\left\{ \phi(A) \mid\! 0 \rangle \mid A\in\mathcal{A} \right\}$ist dicht drin$\mathcal{H}$.