Pauli-Matrizen & 2D-Rotationsoperatoren?

Nun, es ist trivial. Real$2D$Drehungen, die beide als Matrizen betrachtet werden$\mathbb R^2$oder$\mathbb C^2$sind alle in Form

$$R(\theta)= e^{\theta i\sigma_2}\:.$$ (Beachte das $i\sigma_2$ist wirklich antisymmetrisch, da es ein Generator von sein muss $so(2)$.) Außerdem aus der spektralen Zerlegung in $\mathbb C^2$, $e^{\theta i\sigma_2}$hat die gleichen Eigenvektoren wie $\sigma_2$.

Um den generischen Dimensionsteil zu beantworten, falls dies aus Valters Antwort nicht selbstverständlich ist:

In D- Dimensionen ist die Rotationsmatrix das Exponential eines Winkels θ mal einer Matrix K , einem normalisierten Generator der entsprechenden Rotationsgruppe SO( D ) um eine Einheitsachse D - Vektor k , in der Vektordarstellung, also ist die Matrix D ×D . Die Eigenvektoren dieser Matrizen K werden ebenfalls die Eigenvektoren des Rotationsoperators sein.

Da es jedoch mehrere (unendlich) Rotationsachsen für D > 2 gibt, wird es unendlich viele Eigenvektorsätze geben, die jeweils durch die spezifische Spinmatrix K charakterisiert sind .

Beispielsweise ist in D = 3, der Vektordarstellung, die Rotationsmatrix als dieses Exponential der Kreuzproduktmatrix gegeben

$$\mathbf{K}= \left[\begin{array}{ccc} 0 & -k_3 & k_2 \\ k_3 & 0 & -k_1 \\ -k_2 & k_1 & 0 \end{array}\right],$$ trivial durch die Rodrigues-Formel zu eben erweitert $\mathbf{R} = \mathbf{I} + (\sin\theta) \mathbf{K} + (1-\cos\theta)\mathbf{K}^2 ~$. Somit sind die drei Eigenvektoren von K (von denen einer der Nullvektor k ist ) auch die Eigenvektoren von R .