Kontraktion eines rotierenden Systems

Stellen Sie sich ein System aus zwei Massen vor, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren. Wenn eine Kraft das System zusammenzieht, erhöht sich die Geschwindigkeit der beiden Massen. Ich verstehe dies in Bezug auf die Erhaltung des Drehimpulses, aber ich würde gerne verstehen, wie die Kraft, die die Kontraktion verursacht, die beiden Massen beschleunigt.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

In Polarkoordinaten ist die Kraft zentral, also radial . Das bedeutet, dass v R der beiden Massen erhöhen, während v θ sollte konstant bleiben. Während der Kontraktion ist die Bewegung eine Spirale, daher ist die Geschwindigkeit nicht senkrecht zur Kraft, daher ändert sich die Größe des Geschwindigkeitsvektors. Aber am Ende, wenn das System komprimiert wird, folgen die beiden Massen einer kreisförmigen Bewegung, die schneller ist als die am Anfang. Das bedeutet, dass v θ hat sich irgendwie erhöht, aber wie?

Die Erhöhung der Größe der Geschwindigkeit impliziert nicht die Erhöhung der Komponente senkrecht zur radialen Richtung. Diese Zunahme erscheint mir unmöglich, da die Kraft selbst radial ist.

Wie kann v θ Zunahme während der Bewegung?

Betrachten Sie den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit.
Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße. Winkelgeschwindigkeit? NEIN.

Antworten (1)

Schauen wir uns das Hodogramm einer Bewegung mit konstantem Radius und konstanter Geschwindigkeit an.

Hodograph

Links: Flugbahn einer der Massen. Rechts: Hodograph, dh Ortskurve der Geschwindigkeitsvektoren.

Schauen wir uns nun genauer an, wie sich die Geschwindigkeit in einem kleinen Zeitintervall ändert D T .

Hodograph gezoomt

Es wird eine Kraft benötigt, um es zu drehen (Unterschied zwischen den braunen und roten Pfeilen). Wenn Sie eine größere Kraft ausüben, sehen Sie Folgendes:

  • die Geschwindigkeit nimmt in der Norm zu (der magentafarbene Pfeil ist länger)
  • die Geschwindigkeit rotiert schneller (der Winkel Rot-Magenta ist größer als Rot-Braun)

Der Schlüssel zum Verständnis des Phänomens liegt in der Erkenntnis, dass die radialen und orthoradialen Richtungen nicht festgelegt sind : die radiale Richtung zur Zeit T wird bald die orthoradiale Richtung sein T ' . Wenn Sie also sagen: "Die Radialkraft ändert sich v R “, eigentlich müsste man sagen „die Radialkraft verändert beides v R Und v θ ".

Beachten Sie für eine formellere Erklärung die Beschleunigung entlang R ^ Und θ ^ ist nicht die Ableitung der Amplitude der Geschwindigkeit entlang R ^ Und θ ^ . In der Tat, v → = v R R ^ + v θ θ ^ , So A → = ( v R ˙ − v θ θ ˙ ) R ^ + ( v R θ ˙ + v θ ˙ ) θ ^ , das ist A R = v R ˙ − v θ θ ˙ Und A θ = v R θ ˙ + v θ ˙ . Somit A θ = 0 bedeutet nicht v θ = konst. , eher v θ ˙ = − v R θ ˙ : wegen Rotation ( θ ˙ ≠ 0 ), Radialgeschwindigkeit ( v R ) wird in eine Variation der orthoradialen Geschwindigkeit ( v θ ˙ ).

Danke für die Antwort! Mit "orthoradial" meinst du die θ ^ Richtung? Wenn ja, und wenn ich Ihren Punkt verstanden habe, selbst wenn A θ = 0 per Definition der Zentralkraft ( F | | R ^ ), v θ ändert sich in der Zeit, weil die Richtung von θ ^ ist nicht fixiert. Wären Sie so freundlich, mir die Änderung näher zu erläutern? v θ → ? Ich kann verstehen, dass sich die Richtung dieses Vektors ändert, aber ich sehe immer noch nicht, wie eine zentrale (und damit radiale) Kraft die Größe von ändern kann v θ → , da es per Definition immer senkrecht dazu steht.
Ja, orthoradial bedeutet θ ^ [zumindest auf Französisch :-)]. Im übertragenen Sinne habe ich mein Bestes gegeben und kann es nicht besser sagen als "der magentafarbene Pfeil ist länger als der rote". Formaler siehe den letzten Absatz, den ich gerade hinzugefügt habe.
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