Warum wirkt die Dämpfungskraft auf ein schwingendes System entgegen der Richtung der Geschwindigkeit und nicht der Beschleunigung?

Die Bewegungsgleichungen für den Ort bestimmen die Beschleunigungen: Sie sind Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in der Zeit:

$$\vec F = m\vec a = m\ddot{\vec x }$$ Die Beschleunigung, die zweite zeitliche Ableitung des Ortes, muss also irgendwie aus dem Zustand des physikalischen Systems bestimmt werden. Typischerweise wird sie anhand der bestimmt $F=ma$Formel oben: Die Beschleunigung ist die Gesamtkraft dividiert durch die Masse.

Damit dieses Gesetz tatsächlich eine Flugbahn impliziert, muss die Kraft aus den aktuellen Eigenschaften des Teilchens berechenbar sein. Aber die Eigenschaften umfassen nur den Ort und seine Ableitung, die Geschwindigkeit. Sie enthalten nicht die Beschleunigung selbst, die wir tatsächlich berechnen möchten.

Würde man die Kraft als Funktion der Beschleunigung definieren, käme man auf eine seltsame, sich selbst beziehende Gleichung$a=f(a,\dots)$. Wenn es keine andere orts- oder geschwindigkeitsabhängige Kraft gäbe, wäre die Lösung dieser Gleichung ein "universeller" Wert der Beschleunigung, eine sehr seltsame Situation.

Die Kräfte dürfen also nur von Orten und deren ersten Ableitungen, den Geschwindigkeiten, abhängen.

Insbesondere Reibungskräfte sind typischerweise parallel zu den Geschwindigkeiten und gehen in die entgegengesetzte Richtung.$-\epsilon\cdot \vec v$ist die beste Richtung, in die die Geschwindigkeit geändert werden sollte$dt$, dh die beste Richtung der Kraft und der Beschleunigung, die die gleiche Reduzierung der kinetischen Energie mit einem Mindestwert von erreicht$|\Delta \vec v|$.

Alternativ kann man das sagen$\vec v$ist die einzige Richtung, die die Kraft haben kann, wenn die Gesetze translationsinvariant sind. Diese Bedingung impliziert die Unabhängigkeit der Kraft auf$\vec x$. Die Geschwindigkeit ist das Einzige, von dem die Kraft abhängen kann, und die Rotationssymmetrie impliziert die Proportionalität zur Geschwindigkeit. Der Koeffizient ist negativ, da sich die kinetische Energie nach dem zweiten Hauptsatz auflösen und nicht konzentrieren muss.

Man kann die Kraft auch mikroskopisch ableiten. Stellen Sie sich ein Gas mit vielen Teilchen vor, die zufällige Geschwindigkeiten haben. Welche Gesamtkraft üben diese Atome auf einen Festkörper aus? Die Kräfte von Atomen heben sich fast auf, aber die Atome, die von vorne in Richtung der Geschwindigkeit auftreffen, sind etwas häufiger und haben eine etwas höhere Relativgeschwindigkeit als die in der entgegengesetzten Richtung. So dominieren sie leicht und machen$\vec a\sim -\vec v$.