Mögliches Paradox in Bezug auf Beschleunigung, Geschwindigkeit und Arbeit

Question

Mögliches Paradox in Bezug auf Beschleunigung, Geschwindigkeit und Arbeit

RayDansh

Ich bin kürzlich auf eine Frage gestoßen, die mich an dieses "Paradoxon" denken ließ:

Stellen Sie sich folgende Situation vor:

Es gibt zwei Kräfte: Kraft 1 und Kraft 2. Sie beschleunigen eine Masse $m$ von der gleichen Anfangsgeschwindigkeit zur gleichen Endgeschwindigkeit in der gleichen Zeit, aber wie Sie aus dem Diagramm sehen können, haben die beiden Prozesse im Vergleich zu den gleichen Zeitpunkten unterschiedliche Beschleunigungen.

Wie ist die von jedem Prozess geleistete Arbeit im Vergleich?

Es ist leicht einzusehen, dass die von beiden Kräften geleistete Arbeit gleich sein muss, weil die Änderung der kinetischen Energie gleich ist, was richtig ist.

Arbeit kann aber auch geschrieben werden als $Fd$ . Jetzt sagt das zweite Newtonsche Gesetz $F=ma$ , So $W=mad$ .

Aus dem Diagramm geht hervor, dass die durchschnittlichen Beschleunigungen für beide Kräfte gleich sind, da sie zu derselben Geschwindigkeitsänderung über dasselbe Zeitintervall führen. Aber es ist auch klar, dass Kraft 1 zu einer größeren Verschiebung führt (Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm). Sollte Force 1 daher nicht mehr Arbeit leisten?

Ich habe eine vage Vorstellung davon, warum die erste Argumentation richtig und die zweite falsch war, was mit durchschnittlichen Beschleunigungen im Vergleich zu momentanen Beschleunigungen zu tun hat, aber kann mir jemand eine eindeutige Erklärung dafür geben, warum die für beide Prozesse geleistete Arbeit gleich ist? ?

Daniel Sank

Hast du Rechnen gelernt?

Knzhou

Die Arbeit ist es nicht

F d

$F d$ , es ist

\int F d x

$\int F \, dx$ . Sie haben gezeigt, dass die Zeitmittel der beiden Kräfte gleich sind, aber was für die Arbeit zählt, ist das Raummittel .

RayDansh

@knzhou Also der Unterschied zwischen

\int F (x) d x

$\int F(x) dx$ Und

\int F (t) d t

$\int F(t) dt$ ?

Knzhou

Jawohl! Tatsächlich haben die beiden Kräfte das gleiche

\int F d x

$\int F \, dx$ und das gleiche

\int F d t

$\int F \, dt$ , obwohl sie nicht dasselbe haben

\int d x

$\int \, dx$ .

RayDansh

Okay, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke @knzhou! (Und ja, ich nehme gerade AP Calc)

Biophysiker

Ist das ein 1D-Problem?

RayDansh

@AaronStevens Ja.

Antworten (3)

Mögliches Paradox in Bezug auf Beschleunigung, Geschwindigkeit und Arbeit

Die Arbeit ist es nicht $F d$ , es ist $\int F \, dx$ . Sie haben gezeigt, dass die Zeitmittel der beiden Kräfte gleich sind, aber was für die Arbeit zählt, ist das Raummittel .
@knzhou Also der Unterschied zwischen $\int F(x) dx$ Und $\int F(t) dt$ ?
Jawohl! Tatsächlich haben die beiden Kräfte das gleiche $\int F \, dx$ und das gleiche $\int F \, dt$ , obwohl sie nicht dasselbe haben $\int \, dx$ .
Okay, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke @knzhou! (Und ja, ich nehme gerade AP Calc)

Biophysiker · Answer 1

Die Kommentare scheinen Ihre Frage qualitativ zu beantworten. Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Es gibt wahrscheinlich einen eleganteren Weg, dies zu tun, aber lassen Sie uns einfach rohe Gewalt anwenden.

Sagen wir

v_{2} (T) = B T

$v_2(t)=bt$ Und

v_{1} (T) = B T (2 - T)

$v_1(t)=bt(2-t)$ also haben wir

v_{1} (0) = v_{2} (0) = 0

$v_1(0)=v_2(0)=0$ Und

v_{1} (1) = v_{2} (1) = b

$v_1(1)=v_2(1)=b$ ähnlich wie auf deinem Bild.

Unter Zeitableitung und Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes gelangen wir zu

F_{2} (T) = M B

$F_2(t)=mb$ Und

F_{1} (T) = 2 M B (1 - T)

$F_1(t)=2mb(1-t)$

Nun, die allgemeine Definition von Arbeit in einer Dimension ist gegeben durch

W = \int F D X

$W=\int F\ \text d x$ aber da uns die Kraft als Funktion der Zeit gegeben ist, können wir eine Änderung der Variablen vornehmen, um zu gelangen

W = \int F v D T

$W=\int Fv\ \text d t$

Wenn wir dies anwenden, erhalten wir

W_{2} = \int_{0}^{1} M B^{2} T D T = \frac{1}{2} M B^{2}

$W_2=\int_0^1mb^2t\ \text d t=\frac12mb^2$ Und

W_{1} = \int_{0}^{1} (2 M B (1 - T)) (B T (2 - T)) D T = 2 M B^{2} \int_{0}^{1} (T^{3} - 3 T^{2} + 2 T) D T = \frac{1}{2} M B^{2}

$W_1=\int_0^1(2mb(1-t))(bt(2-t))\ \text d t=2mb^2\int_0^1(t^3-3t^2+2t)\ \text d t=\frac12mb^2$ das sehen wir also

W_{1} = W_{2}

$W_1=W_2$

^{*}

$^*$

Aus dem Diagramm geht hervor, dass die durchschnittlichen Beschleunigungen für beide Kräfte gleich sind, da sie zu derselben Geschwindigkeitsänderung über dasselbe Zeitintervall führen. Aber es ist auch klar, dass Kraft 1 zu einer größeren Verschiebung führt (Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm). Sollte Force 1 daher nicht mehr Arbeit leisten?

Sie haben recht, wenn Sie sagen, dass das erste Objekt eine größere Verschiebung haben wird, aber Sie müssen sich da auch die Kräfte ansehen $W=\int F\ \text d x$ . $F_2$ über das gesamte Intervall konstant ist, während $F_1$ startet um $2F_1$ und endet bei $0$ . Die geleistete Arbeit hängt nicht nur von der Verschiebung ab, sondern auch von der Größe der Kraft während dieser Verschiebung.

$^*$ Dies ist das Ergebnis von etwas allgemeinerem:

W = \int F v D T = \int M \frac{D v}{D T} v D T = \int M v D v = \frac{1}{2} M (v_{F}^{2} - v_{0}^{2}) = Δ K

$W=\int Fv\ \text d t=\int m\frac{\text d v}{\text d t}v\ \text d t=\int mv\ \text dv=\frac12m(v_f^2-v_0^2)=\Delta K$

Wir sehen also, dass die geleistete Arbeit nur von der Anfangs- und Endgeschwindigkeit abhängt, unabhängig davon, wie lange es dauert, bis dieser Fortschritt eintritt.

Seth Weinstein · Answer 2

Das Problem bei dem, was Sie tun, ist, dass Sie die Beschleunigung sowohl positiv als auch negativ nicht berücksichtigen, die in Fall 1 auftritt. Um den Höhepunkt dieser Kurve zu erreichen, musste sie stärker beschleunigt werden als die Linie und anschließend die andere Richtung, um es zu berücksichtigen. Ja, in beiden Fällen ist die durchschnittliche Beschleunigung gleich, aber die tatsächliche Beschleunigung, um die Bewegung in Abbildung 1 auszuführen, wäre sicherlich größer.

Bearbeiten: Ahh, die Zeichnung war ein bisschen lustig, aber ich verstehe, worauf Sie hinauswollen, die Kurve geht schneller nach oben und verjüngt sich dann. Dasselbe gilt immer noch, und es ist leicht, sich in Gleichungen und Mathematik zu verlieren, also lassen Sie uns einfach über die Realität sprechen. Wenn sich zwei Raumschiffe (Klischee kenne ich) wie von Ihnen beschrieben nebeneinander bewegen, sind ihre Geschwindigkeiten konstant, es sei denn, etwas beschleunigt sie. Wenn sie sich also anfänglich mit derselben Geschwindigkeit bewegen und einer von ihnen beschleunigt wird, bewegt er sich weiter schneller, bis etwas ihn in die andere Richtung beschleunigt. Dies führt zu mehr Arbeit. Dieses Diagramm könnte modifiziert werden, um dies zu zeigen, indem man den Referenzrahmen eines Beobachters annimmt. Das heißt, die Geschwindigkeit ist immer Null, also wäre die 0-Linie eigentlich nur die Linie, die Sie für ihre zunehmende Geschwindigkeit gezeichnet haben.

Ich wünschte, du hättest es auch kaputt gemacht, das würde mehr Spaß machen!

Die Beschleunigung ist für beide Fälle die ganze Zeit positiv.
Ich habe gerade meine Antwort aktualisiert, um dies etwas klarer zu machen.
Sie sollten Ihre Antwort so bearbeiten, dass sie eine klare Antwort ist. Wenn etwas nicht stimmt, dann lass es einfach los. Für Interessierte steht ein Bearbeitungsverlauf zur Verfügung.

Bill Watt · Answer 3

Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten. Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass die von jedem Prozess geleistete Arbeit gleich ist, da die beiden Prozesse die gleiche Änderung der kinetischen Endenergie erzeugen. Sie haben auch Recht mit der Annahme, dass die Kraft, die erforderlich ist, um das Teilchen über den gekrümmten Weg zu bewegen, größer ist als die Kraft, die erforderlich ist, um das Teilchen entlang des geraden Wegs zu bewegen. Warum also leistet die Kurvenbahnkraft nicht mehr Arbeit? Es liegt daran, dass Arbeit tatsächlich definiert wird durch

$W=\int \overset {\rightarrow } {F}\cdot \, d\overset {\rightarrow } {x}$

Das Skalarprodukt aus Kraft- und Ortselement bedeutet, dass nur die Kraft parallel zur Bewegung des Teilchens zur Arbeit beiträgt. Auf der gekrümmten Bahn gibt es auch eine Kraftkomponente senkrecht zur Bewegung, die die Richtungsänderung des Teilchens bewirkt. Diese zusätzliche senkrechte Komponente der Kraft leistet keine Arbeit. Übrigens können Sie die beiden Teilchen in gleichen Zeiten oder mit gleichen Geschwindigkeiten an denselben Punkt bringen, aber nicht beides.

Das ist ein 1D-Problem. Wenn Sie sich auf die Kurve beziehen, ist der Graph, der Graph ist Geschwindigkeit vs. Zeit, nicht y vs. x
@AaronStevens: Ich sehe das Diagramm, aber nirgendwo in der Frage heißt es, dass die beiden Partikel demselben Pfad folgen. Wie gesagt, meine Antwort ist eine andere Betrachtungsweise.
Es ist nur verwirrend, denn wenn wir über ein Nicht-1D-System sprechen, funktioniert Ihre Rede von Kräften, die senkrecht zum Pfad des Objekts wirken, nicht und ändert nicht die Größe der Geschwindigkeit. Daher zeigt die Grafik nur, was aufgrund einer Kraft parallel zum Pfad passiert, also könnte es sich genauso gut um ein 1D-Problem handeln
@AaronStevens: Nun, wenn wir nicht von einem 1-d-System ausgehen, und es gab keinen Grund, dies anzunehmen, dann ist alles, was ich gesagt habe, absolut richtig. Es schien mir, dass die Antwort auf ein 1-D-System zu offensichtlich war, um das zu sein, was er meinte, besonders da er von einer größeren Kraft sprach und verwirrt war, dass diese Kraft nicht mehr Arbeit darstellt. Aber wenn er davon sprach, dass beide Kräfte der gleichen Linie folgen, dann habe ich wohl ein anderes Problem beantwortet.
Ich gehe davon aus, dass es sich um ein 1D-System handelt, denn wenn wir einen Geschwindigkeits-Zeit-Graphen für ein Nicht-1D-System haben, dann stellen wir nur die Größe der Geschwindigkeit grafisch dar und berücksichtigen nicht die Richtung der Geschwindigkeit. Wenn wir nur die am Objekt geleistete Arbeit basierend auf der Größe der Geschwindigkeit betrachten, dann interessieren wir uns nur für die Komponente der Kraft parallel zum Pfad des Objekts, da jede Kraftkomponente senkrecht zum Pfad nicht ausreicht funktionieren und daher keinen Unterschied in der Grafik machen. Daher wird das Problem im Wesentlichen sowieso zu einem 1D-Problem.

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