Welche Annahmen müsste ich treffen, um rigoros zu beweisen, dass Kraft gleich Kraft gepunktet mit Geschwindigkeit ist, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?

Question

Welche Annahmen müsste ich treffen, um rigoros zu beweisen, dass Kraft gleich Kraft gepunktet mit Geschwindigkeit ist, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?

gen-ℤ bereit zu sterben

$\newcommand{\F}{\mathbf{F}}$ $\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$ $\newcommand{\v}{\mathbf{v}}$ $\newcommand{\d}[2]{ \frac{ d #1 }{ d #2 }}$ Es gibt eine bekannte bekannte Formel für die Kraft $P$ auf einen Massepunkt ausgeübt $P=\F\cdot\v$ Wo $\F$ ist die Kraft, die die Arbeit verrichtet und $\v$ ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Punktmasse bewegt. Der Beweis, den mein Ausbilder damals geliefert hat, lautet wie folgt:

\begin{aligned} W & = \int F \cdot D R \\ (A) & W & = \int F \cdot \frac{D R}{D T} D T \\ (B) & \frac{D W}{D T} & = \frac{D}{D T} \int F \cdot \frac{D R}{D T} D T \\ (C) & P & = \frac{D}{D T} \int F \cdot v D T \\ (R) & P & = F \cdot v \end{aligned}

$\begin{align} W &= \int\F\cdot d\r \\ W &= \int\F\cdot\d{\r}{t}\,dt \tag{a}\\ \d Wt &= \frac{d}{dt}\int \F\cdot\d{\r}{t}\,dt \tag{b} \\ P &= \frac{d}{dt}\int\F\cdot\v\,dt \tag{c}\\ P &= \F\cdot\v \tag{R}\\ \end{align}$

Es gibt ein paar Gründe, warum ich diesen Beweis im Allgemeinen nicht zufriedenstellend finde:

Es wird nicht auf Integrationsgrenzen Bezug genommen
Es scheint das nicht zu erkennen $\F$ kann mit variieren $t$ ebenso gut wie $\r$
Scheint das nicht zu erkennen $\r$ variiert mit $t$
Schritt $\rm{(a)}$ könnte ein möglicherweise fehlerhaftes Argument „Differentiale aufheben“ verwenden

In einem Versuch, rigoros abzuleiten $\rm{(R)}$ , habe ich Folgendes sorgfältig definiert:

Das betrachtete Intervall reicht von $t=a$ Zu $t=b$
$\r_t(t)$ bildet eine skalare Zeit auf den dreidimensionalen Positionsvektor der Punktmasse zu diesem Zeitpunkt ab
$s_t(\tau)$ bildet eine skalare Zeit auf die von der Punktmasse zurückgelegte skalare Strecke ab $t=a$ Zu $t=\tau$ definiert von $s_t(\tau)=\int_{a}^{\tau}\lvert\v_t(t)\rvert\,dt$
$\F_\r(t,\r(t))$ bildet eine skalare Zeit und den dreidimensionalen Positionsvektor der Punktmasse, die dieser Zeit entspricht, auf den dreidimensionalen Vektor der Arbeitskraft ab
$\F_s(t,s(t))$ bildet eine skalare Zeit und die von der Punktmasse zurückgelegte skalare Entfernung auf den dreidimensionalen Vektor der Arbeitskraft ab
$F_s(t,s(t))$ bildet eine skalare Zeit und die von der Punktmasse zurückgelegte skalare Entfernung auf die skalare Größe der durch definierten Arbeitskraft ab $F_s(t,s(t))=\lvert\F_s(t,s(t))\rvert$

Gehen Sie von einer genaueren Definition von Arbeit aus:

W_{T} (A, B) = \int_{R_{T} (A)}^{R_{T} (B)} F_{R} (T, R (T)) \cdot D (R_{T} (T))

$W_t(a,b)=\int_{\r_t(a)}^{\r_t(b)} \F_\r(t,\r(t))\cdot d(\r_t(t))$

Ich habe mehrere Versuche zu dieser Ableitung mit verschiedenen Methoden unternommen (die ich hier nicht ausführlich wiedergeben werde), darunter:

Leibniz-Integralregel
Jacobische Determinante
Ändern oder Variablen oder $u$ -Auswechslung

aber vergeblich.

Gibt es irgendwelche zugrunde liegenden Annahmen in sagen $P=\F\cdot\v$ das würde es einem ermöglichen, die Gleichung abzuleiten?

Welche Methode könnte man verwenden, um abzuleiten $P=\F\cdot\v$ ?[[

Levitopher

Inwiefern ignoriert dieser Ansatz Ihrer Meinung nach zeitabhängige Kräfte? Wie würde sich der grundlegende Ansatz ändern, wenn F von der Zeit abhängen würde? Ich sehe nicht, wo außer in diesem Schritt, wo Sie das Gesamtdifferential nicht mögen.

gen-ℤ bereit zu sterben

@levitopher Vielleicht ist „nicht explizit ausdrücken“ besser als „ignorieren“

Phönix87

de.wikipedia.org/wiki/…

Jerry Schirmer

pro khnzhous Antwort unten ist die einzige wirkliche Annahme, dass jede Komponente von

\vec{r}

${\vec r}$ ist eine stückweise umkehrbare Funktion von

t

$t$ . Dann läuft das Ganze nur noch über eine Variablenänderung ab

r

$r$ Zu

t

$t$ .

Antworten (1)

Welche Annahmen müsste ich treffen, um rigoros zu beweisen, dass Kraft gleich Kraft gepunktet mit Geschwindigkeit ist, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?

Inwiefern ignoriert dieser Ansatz Ihrer Meinung nach zeitabhängige Kräfte? Wie würde sich der grundlegende Ansatz ändern, wenn F von der Zeit abhängen würde? Ich sehe nicht, wo außer in diesem Schritt, wo Sie das Gesamtdifferential nicht mögen.
@levitopher Vielleicht ist „nicht explizit ausdrücken“ besser als „ignorieren“
pro khnzhous Antwort unten ist die einzige wirkliche Annahme, dass jede Komponente von ${\vec r}$ ist eine stückweise umkehrbare Funktion von $t$ . Dann läuft das Ganze nur noch über eine Variablenänderung ab $r$ Zu $t$ .

Knzhou · Answer 1

Hier ist eine strenge Ableitung. Die Energie ist $mv^2/2$ , und Leistung ist die Änderungsrate der Energie, also

P = \frac{D}{D T} \frac{M v \cdot v}{2} = M A \cdot v = F \cdot v .

$\renewcommand{\v}[1]{\mathbf{#1}} P = \frac{d}{dt} \frac{m \v{v} \cdot \v{v}}{2} = m \v{a} \cdot \v{v} = \v{F} \cdot \v{v}.$ Das ist es.

Schauen wir uns nun Ihre Herleitung an. Der erste Schritt

W = \int F (R) \cdot D R = \int F (T) \cdot \frac{D R}{D T} D T

$W = \int \v{F}(\v{r}) \cdot d\v{r} = \int \v{F}(t) \cdot \frac{d\v{r}}{dt} dt$ gilt, da dies nur die Kettenregel ist. (Nur weil es so aussieht , als ob „Differentiale aufheben“ heißt das nicht, dass es falsch ist! Das Aufheben von Differentialen ist völlig in Ordnung, solange Sie wissen, was Sie tun.) Jetzt umbenennen

t

$t$ Zu

τ

$\tau$ weil der Name der Integrationsvariable keine Rolle spielt. Der nächste Schritt ist

\frac{D W}{D T} = \frac{D}{D T} \int F (τ) \cdot \frac{D R}{D τ} D τ

$\frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} \int \v{F}(\tau) \cdot \frac{d\v{r}}{d\tau} d\tau$ und das ist unsinnig, weil es keine Abhängigkeit von gibt

t

$t$ differenzieren.

Stattdessen sollten wir explizit Integrationsgrenzen schreiben $t_i$ Und $t_f$ Wo $W(t_i, t_f)$ ist die geleistete Arbeit von Zeit zu Zeit $t_i$ zur Zeit $t_f$ . Dann

\frac{D W}{D T_{F}} = \frac{D}{D T_{F}} \int_{T_{ich}}^{T_{F}} F (τ) \cdot \frac{D R}{D τ} D τ = F (T_{F}) \cdot v (T_{F})

$\frac{dW}{dt_f} = \frac{d}{dt_f} \int_{t_i}^{t_f} \v{F}(\tau) \cdot \frac{d\v{r}}{d\tau} d\tau = \v{F}(t_f) \cdot \v{v}(t_f)$ wobei wir den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung verwendet haben. Jetzt ist die linke Seite gleich der Potenz zur Zeit

t_{f}

$t_f$ , So

P (T_{F}) = F (T_{F}) \cdot v (T_{F})

$P(t_f) = \v{F}(t_f) \cdot \v{v}(t_f)$ das wollten wir.

Welche Annahmen müsste ich treffen, um rigoros zu beweisen, dass Kraft gleich Kraft gepunktet mit Geschwindigkeit ist, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?

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Levitopher

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Knzhou

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