Mathematische Definition von Macht [Duplikat]

Die von einer Kraft verrichtete Arbeit wird nicht durch definiert$W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. Arbeit wird stattdessen in Form eines Linienintegrals über einen Pfad definiert (Ihre Gleichung weist einer Kraft und Position nur eine Arbeit zu, was nicht mit dem übereinstimmt, was wir mit der von einer Kraft geleisteten Arbeit meinen). Wir haben

$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$

Also, wenn wir haben$P=\text dW/\text dt$wir haben einfach

$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$

Es gibt also keine$\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$Begriff im Ausdruck für Macht. Das funktioniert auch konzeptionell: Die Leistungsabgabe einer Kraft sollte nicht direkt von der Position des betreffenden Teilchens (dh dem Ort des Ursprungs) abhängen.

Arbeit wird definiert als$W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Leistung, P, ist dW/dt =$\vec F \cdot \vec v$.

Ihre Beziehung zur Arbeit ist falsch, also ist Ihre Beziehung zur Macht (eingeschränkte Beziehung in Ihrer Frage) nicht korrekt.

Wie andere schon geantwortet haben,$W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ist eine Vereinfachung und funktioniert nur in einem Spezialfall von konstant$\mathbf F$. Und deine Formeln auch.

Eine Möglichkeit, es physisch zu betrachten, besteht darin, zu erkennen, dass Arbeit keine Funktion der Position ist. Mathematisch beschreiben wir es normalerweise mit dem Konzept des ungenauen Differentials:

$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$

Diese Notation wird verwendet, um die Tatsache zu unterstreichen, dass Sie beide Seiten integrieren und die gleiche Zahl erhalten können, aber Sie können diese Formel nicht umstellen und tatsächlich (im Allgemeinen) nicht ausdrücken können$\mathbf F$verwenden$W$.

Ein Beispiel für ein exaktes Differential und was es Ihnen ermöglicht:

$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$

PS Es gibt einige Sonderfälle, in denen Sie schreiben können$\mathbf F = \nabla \, W$, in diesen Fällen heißt es$\mathbf F$ist eine potentielle Kraft.

Wenn Sie Derivate nehmen, ist es von entscheidender Bedeutung, dass Sie sich klar darüber sind, was wovon funktioniert.

In der Definition der Arbeit ist die Kraft eine Funktion des Ortes, nicht der Zeit. Das bedeutet, dass Sie sich zwar sicherlich in einem zeitlich variierenden Kraftfeld bewegen können, aber was zählt, ist die Kraft, die Sie bei jedem Schritt auf Ihrem Weg messen, unabhängig davon, wie diese Kraft in der Vergangenheit war oder in Zukunft sein wird.

Die anderen Antworten diskutieren seltsame Dinge wie Integrale und Differentiale. Diese Antwort versucht, das OP dort zu treffen, wo sie sich befinden: Sie zielt auf die in der Frage verwendete Mathematikebene ab und beginnt mit der Formel$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.

Vermutlich haben Sie mit dieser Formel angefangen, weil Sie sie in Ihrem Highschool-Lehrbuch gefunden haben und sie in der Schule gelehrt wurde. Das liegt daran, dass die Formel im Gegensatz zu einigen anderen Antworten richtig ist. Aber Sie müssen zwei Dinge verstehen, um es richtig anzuwenden:

1. Es benötigt$\vec{F}$konstant sein.
2. Es benötigt$\vec{r}$die Positionsänderung sein , während das Objekt der Kraft ausgesetzt ist$\vec{F}$. Dies wäre besser geschrieben als$\Delta \vec{r}$. [1]

Kommen wir nun zu deinem Problem:

Wenn$\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$dann wird die Formel für Macht$P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, was impliziert, dass wenn die Geschwindigkeit Null ist, dies nicht unbedingt bedeutet, dass die Kraft des Objekts auch Null ist

Diese Aussage berücksichtigt nicht die beiden oben diskutierten Dinge:

1. Das erkennt man nicht$\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
2. Das erkennt man nicht$\vec{r}$, das ist wirklich$\Delta \vec{r}$, bedeutet nicht wirklich etwas, wenn die Geschwindigkeit Null ist. (Um diesen Punkt richtig anzugehen, brauchen wir Integrale – siehe die anderen Antworten.)

[1] Für diejenigen, die sich mit Elektrizität auskennen, so wird es oft geschrieben$V$wenn sie es wirklich meinen$\Delta V$.

Angenommen, wir sprechen über nicht-relativistische Geschwindigkeiten, dann definieren$\vec{F}=m\vec{a}$, Ihr Vorschlag (einer Art) lautet:

$$P=\frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}+\vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=m\left(\vec{r} \cdot \frac{d\vec{a}}{dt}+\vec{a} \cdot \vec{v}\right)$$ mit$\vec{v}:=d\vec{r}/dt$.

$d\vec{a}/dt$wird als "Ruck" (oder "Ruck") bezeichnet, mit$\vec{a}$der Beschleunigungsvektor. Es muss immer dann auftreten, wenn eine Kraft heruntergefahren wird$\vec{0}$Zu$\vec{F}$. Sie können mehr über den Idioten in seinem Wikipedia-Artikel erfahren .

Ob der Ruck in der Formel für Leistung vorkommt oder nicht, hängt davon ab, wie Sie die Arbeit definieren: wenn Sie verwenden$dW=\vec{F} \cdot d\vec{r}$, dann erscheint der Ruck nicht. Allerdings, wenn Sie definieren$W=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}$, dann erhalten Sie durch Anwenden der Differenzierung unter dem Integral die Gleichung, die Sie abgeleitet haben, mit Ausnahme dessen$d\vec{F}/dt$wird ersetzt durch$\partial\vec{F}/\partial t$: Nach dieser Differenzierung nach der Integralregel gilt

$$\frac{dW}{dt}=\frac{d}{dt} \int _{\vec{r}(t_0)}^{\vec{r}(t)}\vec{F}(\vec{r},t') \cdot d\vec{r}$$ $$=\vec{F}(\vec{r}(t),t) \cdot \frac{d(\vec{r}(t))}{dt}-\vec{F}(\vec{r}(t_0),t_0) \cdot \frac{d(\vec{r}(t_0))}{dt}+\int _{\vec{r}(t_0)}^{\vec{r}(t)}\frac{\partial\vec{F}}{\partial t} \cdot d\vec{r}$$ $$=:\vec{F} \cdot \vec{v}-\int _{\vec{r}_0}^{\vec{r}}\frac{\partial\vec{F}}{\partial t} \cdot d\vec{r}.$$ Wenn man das dann annimmt$\frac{\partial\vec{F}}{\partial t}$unabhängig von der Entfernung ist (was im Allgemeinen nicht der Fall ist). $$\frac{dW}{dt}=:\vec{F} \cdot \vec{v}-\frac{\partial \vec{F}}{\partial t} \cdot \Delta \vec{r}.$$ Wenn man jedoch bedenkt, was erforderlich wäre, damit der Ruck entfernungsunabhängig ist (denken Sie an das einfache Beispiel, eine Kraft so hochzufahren, dass die Quelle der Kraft immer in Kontakt mit dem Objekt ist, das die Kraft erfährt), kann man schnell überzeugen selbst, dass dies höchst ungewöhnlich ist.