Schritt 1

Lassen Sie mich das Problem formulieren, um meine Notation zu vermitteln. Ich habe eine Matrize$A$die hermitesch ist - und durch eine Transformation diagonalisierbar ist

$$U_A A\,\,U_A^{-1} = A_{diag}$$

Jetzt wird die Matrix mit dem kleinen Parameter geändert$\lambda$. Deshalb,

$$A \rightarrow A-\lambda B$$ Wo $B$kann im Allgemeinen nicht hermitesch sein.

Ich habe versucht, die Änderungen erster Ordnung in Eigenwerten und Eigenvektoren auf folgende Weise zu berechnen:

Schritt 2

Die Matrix$A-\lambda B$muss gedreht werden$U^\prime = e^{i\lambda \alpha}U_A$diagonalisiert werden,$\alpha$ein Rotationsgenerator zu sein - und es macht Sinn, dass die "zusätzliche" Rotation proportional dazu sein muss$\lambda$.

$$A^\prime_{diag} = A_{diag} + C_1\lambda + C_2\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$$

Ich habe dies mit der BCH-Formel aufgeschrieben und den linearen Koeffizienten eingestellt,$C_1= 0$und bekam die Einschränkung$U_AB\;U_A^{-1} = \left[i\alpha,A_{diag}\right]$.

Die endgültige Form, die ich erhalten habe$A^\prime_{diag}$War

$$A^\prime_{diag} = A_{diag} -\frac{1}{2}\left[i\alpha,U_AB\;U_A^{-1}\right]\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$$

Frage

Kann mir jemand sagen ob -

1. Ich bin auf dem richtigen Weg - und wie man von hier aus weiter vorgeht, um zu lösen$\alpha$in Bezug auf die bekannten Matrizen.

2. Ich muss das anders angehen.

3. es würde helfen, wenn$B$waren hermitesch?

BEARBEITEN

Genau das ist das Problem der Störungstheorie unter Verwendung der SW-Transformation. Kann jemand eine Referenz nennen?