Eigenvektoren einer 4D-Rotation und ihre Interpretation

Um ehrlich zu sein, fällt es mir schwer, geometrisch zu interpretieren, was hier vor sich geht, wenn ich Quaternionen oder Biquaternionen oder irgendetwas anderes verwende. Die gesamte Rotationsalgebra in 4d wird angemessen von einer geometrischen Algebra gehandhabt, wobei die Elemente dieser Algebra klare geometrische Interpretationen haben. Die Mathematik ähnelt Quaternionen, unterscheidet sich jedoch in einigen konzeptionellen Aspekten.

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Okay, Muphrid, was ist geometrische Algebra und wie kann sie uns helfen, über Rotationen zu sprechen?

Die geometrische Algebra ist eine Art Clifford-Algebra. Es setzt ein "geometrisches Produkt" zwischen Vektoren, das mit Nebeneinanderstellung bezeichnet wird, also das geometrische Produkt zweier Vektoren$a$Und$b$bezeichnet ist$ab$. Dieses Produkt hat folgende Eigenschaften:

$$aa = |a|^2, \quad (ab)c = a(bc)$$

Aus diesen beiden Eigenschaften erhalten Sie eine Fülle nützlicher Strukturen zur Ergänzung der traditionellen Vektoralgebra. Am relevantesten sind hier Bivektoren , die orientierte Ebenen darstellen. Gegeben sind vier orthonormale Basisvektoren$e_1, e_2, e_3, e_4$, erhalten Sie die folgenden Einheitsbivektoren:

$$\text{Bivectors:} \, e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1, e_1 e_4, e_2 e_4, e_3 e_4$$

Das geometrische Produkt von Vektoren erzeugt auch Objekte, die Rotoren genannt werden , die Analoga von Quaternionen sind, da sie Rotationen ausführen. In 3D können Sie beispielsweise zwei Vektoren multiplizieren$a$Und$b$um folgendes zu bekommen:

$$a b = (a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3) + (a^2 b^3 - a^3 b^2) e_2 e_3 + (a^3 b^1 - a^1 b^3) e_3 e_1 + (a^1 b^2 - a^2 b^1) e_1 e_2$$

Diese hat vier Terme, wie eine Quaternion. Tatsächlich können Sie die folgenden Identifizierungen vornehmen:

$$i = -e_2 e_3, \quad j = -e_3 e_1, \quad k = - e_1 e_2$$

Ein Vorteil, den die geometrische Algebra gegenüber Quaternionen hat, besteht darin, dass Quaternionen eine doppelte Aufgabe erfüllen müssen: Sie verwenden reine imaginäre Quats, um Vektoren darzustellen. GA tut dies nicht; Vektoren und Rotoren sind nach ihren geometrischen Eigenschaften und ihrer Funktion klar voneinander getrennt. Sie würden niemals verwirren$e_1$--ein Vektor--mit$e_1 e_2$--ein Bivektor.

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Aber Muphrid, was ist mit 4d? Interessiert uns das hier nicht?

Richtig, lasst uns über die geometrische Algebra des 4d euklidischen Raums sprechen. Wie gesagt, es gibt sechs Einheitsbivektoren, und Sie haben vielleicht bemerkt, dass sechs Imaginäre beteiligt sind, wenn Sie über zwei Quaternionen sprechen. Kein Zufall. GA lässt uns das direkt handhaben, anstatt Quaternionen zu hacken, damit alles funktioniert.

So geht's: Es gibt ein wichtiges Konzept der Dualität, das wir durch Multiplikation mit dem Pseudoskalaren darstellen , das ich nennen werde$\epsilon = e_1 e_2 e_3 e_4$. Der mit einem Bivektor multiplizierte Pseudoskalar gibt den entsprechenden orthogonalen Bivektor zurück. Mal sehen wie:

$$\epsilon e_1 e_2 = - e_3 e_4, \quad \epsilon e_2 e_3 = - e_1 e_4, \quad \epsilon e_3 e_1 = - e_2 e_4$$

Aus diesem Grund können Sie mit zwei Quaternionen oder Biquaternionen davonkommen: Jeder Bivektor kann wie folgt als Linearkombination ausgedrückt werden:

$$B = (\alpha e_1 e_2 + \beta e_2 e_3 + \gamma e_3 e_1) + \epsilon (\lambda e_1 e_2 + \mu e_2 e_3 + \nu e_3 e_1)$$

Nochmal,$\epsilon = e_1 e_2 e_3 e_4$, Und$\epsilon \epsilon = -1$, wie es passiert. Es wirkt wie eine weitere imaginäre Einheit und unterteilt die sehr komplizierten Rotoren von 4d in 2 3d-ähnliche Rotoren.

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Also Muphrid, was sagt uns das über Eigenvektoren (oder Eigenbivektoren oder Eigenrotoren) einer allgemeinen Rotationsoperation in 4d?

Diese lassen sich am einfachsten anhand der doppelt isoklinen Zerlegung verstehen.

Sei ein allgemeiner Rotationsbivektor gegeben als$B = U + \epsilon V$, Wo$U, V$sind Linearkombinationen von$e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$. Lassen$I_\pm = (1 \pm \epsilon)/2$, dann können wir umschreiben$B$als

$$B = I_+ X + I_- Y, \quad X = (U+V)/2, \quad Y = (U-V)/2$$

Die Drehungen mit$I_+ X$Und$I_- Y$sind beide "isoklin", was bedeutet, dass sie sich jeweils in zwei orthogonalen Ebenen um denselben Winkel drehen. Die entsprechende Drehung nimmt die Form an

$$\underline R(a) = I_+ \exp(X) a \exp(-Y) + I_- \exp(Y) a \exp(-X)$$

Außerhalb von Sonderfällen, wo$X$Und$Y$linear abhängig sind, kann ich keine einzelnen Vektoren sehen, die im Allgemeinen Eigenvektoren wären.

Bei Eigenbivektoren die Potenzreihe einer Exponentialfunktion$\exp(B)$sagt uns das$B$Und$\epsilon B$sind beide Eigenbivektoren, was eine viel einfachere Analyse ist.