Physikerdefinition von Vektoren basierend auf Transformationsgesetzen

Question

Physikerdefinition von Vektoren basierend auf Transformationsgesetzen

Gold

Zunächst möchte ich klarstellen, dass ich, obwohl ich hier bereits eine verwandte Frage gestellt habe , in dieser neuen Frage etwas anderes sagen möchte. Bei der ersten Frage habe ich Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit betrachtet, und hier betrachte ich nur Vektoren.

In der Physik werden Vektoren fast immer durch ihre Transformationseigenschaften definiert. Griffiths zitieren:

Nun, wie wäre es damit: Wir haben ein Fass mit Obst, das enthält $N_x$ Birnen, $N_y$ Äpfel und $N_z$ Bananen. Ist $\mathbf{N} = N_x\hat{\mathbf{x}}+N_y\hat{\mathbf{y}}+N_z\hat{\mathbf{z}}$ ein Vektor? Es hat drei Komponenten, und wenn Sie ein weiteres Fass mit hinzufügen $M_x$ Birnen, $M_y$ Äpfel und $M_z$ Bananen ist das Ergebnis $(N_x+M_x)$ Birnen, $(N_y+M_y)$ Äpfel, $(N_z+M_z)$ Bananen. Es fügt sich also wie ein Vektor hinzu. Aber es ist offensichtlich kein Vektor im Sinne des Physikers, weil es keine wirkliche Richtung hat. Was genau ist daran falsch?

Die Antwort ist das $\mathbf{N}$ transformiert sich nicht richtig, wenn Sie die Koordinaten ändern. Der Koordinatenrahmen, den wir verwenden, um Positionen im Raum zu beschreiben, ist natürlich völlig willkürlich, aber es gibt ein bestimmtes geometrisches Transformationsgesetz zum Umwandeln von Vektorkomponenten von einem Rahmen in einen anderen. Angenommen, zum Beispiel die $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$ System wird um einen Winkel gedreht $\phi$ , relativ zu $x,y,z$ , über das Gemeine $x=\bar{x}$ Achsen. Aus Abb. 1.15,

$A_{j} = A \cos θ, A_{z} = A Sünde θ,$ $A_y=A\cos \theta, A_z=A\sin\theta,$

während

${\bar{A}}_{j} = \cos ϕ A_{j} + Sünde ϕ A_{z},$ $\bar{A}_y=\cos\phi A_y + \sin \phi A_z,$

${\bar{A}}_{z} = - Sünde ϕ A_{j} + \cos ϕ A_{z} .$ $\bar{A}_z=-\sin\phi A_y + \cos\phi A_z.$

Allgemeiner gesagt nimmt das Transformationsgesetz für die Rotation um eine beliebige Achse in drei Dimensionen die Form an:

${\bar{A}}_{ich} = \sum_{J = 1}^{3} R_{ich J} A_{J} .$ $\bar{A}_i=\sum_{j=1}^3R_{ij}A_j.$

Jetzt: Machen Sie die Komponenten von $\mathbf{N}$ auf diese Weise umwandeln? Natürlich nicht - es spielt keine Rolle, welche Koordinaten Sie verwenden, um die Position im Raum darzustellen, es gibt immer noch die gleiche Anzahl von Äpfeln im Fass. Sie können eine Birne nicht in eine Banane verwandeln, indem Sie einen anderen Satz Äxte wählen, aber Sie können drehen $A_x$ hinein $\bar{A}_y$ . Formal ist ein Vektor also ein beliebiger Satz von drei Komponenten, der sich auf die gleiche Weise wie eine Verschiebung transformiert, wenn Sie die Koordinaten ändern .

Es ist genau diese Art von Definition, die ich nur schwer verstehen kann. Mein Punkt hier ist folgender: Wie ein Mathematiker sagen würde, ist ein Vektor nur ein Element eines Vektorraums.

Lassen $V$ sei ein Vektorraum über $\mathbb{K}$ und lass $\{e_i\}$ Grundlage sein. Dann die Kartierung $f : \mathbb{K}^n\to V$ gegeben von $f(a^1,\dots,a^n)=a^ie_i$ ist per Definition der Basis ein Isomorphismus.

Das bedeutet, dass wir beliebige Zahlen auswählen können $a^1,\dots,a^n$ und sie geben einen eindeutigen Vektor, egal wie diese Zahlen sind. Ob sie Zahlen von Perlen, Bananen oder Äpfeln darstellen, spielt keine Rolle. Sie sind Zahlen.

Betrachten wir nun eine andere Grundlage $\{\bar{e}_i\}$ Wir sind sicher, dass es Zahlen gibt $a^i_j$ die so einzigartig sind $e_j = a^i_j \bar{e}_i$ .

In dieser Einstellung, wenn wir einen Vektor haben $v = v^je_j$ dann haben wir $v = v^ja^i_j \bar{e}_i$ . Mit anderen Worten $v = \bar{v}^i\bar{e}_i$ mit $\bar{v}^i = a^i_jv^j$ . Das Transformationsgesetz ist also nur ein Ergebnis der Theorie der linearen Algebra !

Nun, mein ganzer Zweifel ist: Was steckt hinter dieser Definition des Physikers? Sie versuchen, ein Ergebnis der Theorie zu verwenden, um Vektoren zu definieren, aber warum sollte diese Definition Sinn machen? Wie ich schon sagte, weil $f$ ist Isomorphismus, durch die Definition der Basis wird jede Menge von Zahlen einen Vektor bilden und wenn wir die Basis ändern, werden sich die neuen Komponenten zwangsweise ändern, wie es für die Theorie sinnvoll ist .

EDIT: Nachdem ich eine Weile nachgedacht habe, glaube ich, dass ich eine Vorstellung davon habe, was hier vor sich geht. Ich glaube, wir haben zwei verschiedene Dinge: die mathematische Idee eines Vektors und die physikalische Idee einer vektoriellen Größe.

Ich glaube, das ist die Quelle der Verwirrung für einen Mathematiker, wenn wir uns entscheiden $(a^1,\dots,a^n)\in \mathbb{K}^n$ Das sind nur willkürliche Zahlen für einen Physiker, wenn wir uns entscheiden $(a^1,\dots,a^n)$ jede $a^i$ hat als messbare Größe eine spezifische physikalische Bedeutung. Ist das irgendwie die Idee?

ACuriousMind

"Warum bestehen Physiker darauf, solche Vektoren zu definieren?" ist in erster Linie meinungsbasiert und hat ebenso viel mit Geschichte wie mit Praxis zu tun.

ACuriousMind

Siehe diese Frage zur Wissenschafts- und Mathematikgeschichte für eine Frage, die nebenbei besagt, dass "als Tupel, das sich auf eine bestimmte Weise transformiert" tatsächlich die älteste Version der Definition einer Vektortangente an eine Mannigfaltigkeit ist.

Gold

Vielleicht habe ich eine schlechte Wortwahl getroffen. Ich habe diesen Teil der Frage entfernt. Was ich damit meinte, ist: Was ist die Intuition hinter dieser Definition? Denn soweit wir haben

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ Wir haben bereits Vektoren, diese Definition scheint nicht wirklich erforderlich zu sein.

ACuriousMind

Ich denke, "was ist die Intuition dahinter" ist immer noch keine objektive Frage. Dies ist eine der äquivalenten Möglichkeiten, einen Vektor zu definieren. Die Frage, warum man einen gleichwertigen Weg einem anderen vorzieht, ist objektiv nicht beantwortbar.

Gold

Ich frage nicht, warum ich diese Definition anstelle einer anderen wähle, sondern warum diese Definition selbst Sinn macht. Der Punkt ist, dass , wenn wir auf einer glatten Mannigfaltigkeit definieren, ich das Problem verstehen kann, wir uns mit verschiedenen Koordinatendiagrammen befassen müssen. Dies wird sogar in Spivaks Buch erklärt. Aber Physiker scheinen diese Definition schon sehr früh zu verwenden, nur mit dem Vektorraum

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ . Und sie fragen genau eine Transformationseigenschaft in Bezug auf Rotationen ab, nur eine bestimmte Art von Basiswechsel.

Gold

Aber aus der linearen Algebra wissen wir, dass wir bei drei Zahlen und einer Menge von Basisvektoren bereits einen Vektor haben. Es wird niemals eine Anforderung an die drei Nummern gestellt. Außerdem gibt es viele andere Basiswechsel, die wir durchführen können. Also ich kann diese Definition nicht wirklich verstehen.

ACuriousMind

Ah, ja, "drei Zahlen und ein Satz Basisvektoren" . Der Physiker verbirgt die Tatsache, dass die drei Zahlen die Koeffizienten von Basisvektoren hinter diesem Transformationsgesetz sind, aber Sie können leicht zeigen, dass drei Zahlen, die diesem Transformationsgesetz unter Drehungen gehorchen, drei Koeffizienten von Basisvektoren entsprechen. Es ist gleichwertig, nur eine andere Wahl der Definition.

Lewis Miller

Wenn Physiker von Vektoren sprechen, sprechen sie nicht nur von Rotationen. Andere Transformationen sind ebenfalls beteiligt. Betrachten Sie einen Vektor

\vec{A}

$\vec A$ . Bei der Paritätstransformation werden ihre Komponenten negiert. Es sei denn

\vec{A}

$\vec A$ ist eigentlich ein Vektorprodukt zweier anderer Vektoren

\vec{B} x \vec{C}

$\vec B x\vec C$ unter Parität bleiben seine Komponenten unverändert. In diesem Fall nennen wir es einen Pseudo-Vektor.

Loreno Heer

Vielleicht ist es erwähnenswert, dass Physiker, wenn sie von einem Vektor sprechen, eigentlich einen kontravarianten Vektor meinen. Während für Mathematiker ein Vektor nur ein Element aus einem Vektorraum ist.

Niemand-weiß-dass-ich-ein-Hund bin

@ACuriousMind: „Intuitionsfragen“ sind für neugierige Menschen, die verstehen und verfolgen wollen, wie wissenschaftliche Theorien aufgebaut werden und warum und wie sie scheitern. Sie sind, ähnlich wie Geschichte und Praxis und Meinung, von zentraler Bedeutung für sie. "Objektive Fragen" sind nur für jene Götter, die wissen, dass sie die absolute Wahrheit erlangt haben und ihre Meinung für über jeden Zweifel erhaben halten. Und Stapeltausch ist für Menschen, nicht für Götter ;.)

Roger Wadim

Nur eine Bemerkung: Ein Informatiker würde noch eine andere Definition eines Vektors als eine bestimmte Art von Datenstruktur geben.

Antworten (5)

Physikerdefinition von Vektoren basierend auf Transformationsgesetzen

"Warum bestehen Physiker darauf, solche Vektoren zu definieren?" ist in erster Linie meinungsbasiert und hat ebenso viel mit Geschichte wie mit Praxis zu tun.
Siehe diese Frage zur Wissenschafts- und Mathematikgeschichte für eine Frage, die nebenbei besagt, dass "als Tupel, das sich auf eine bestimmte Weise transformiert" tatsächlich die älteste Version der Definition einer Vektortangente an eine Mannigfaltigkeit ist.
Vielleicht habe ich eine schlechte Wortwahl getroffen. Ich habe diesen Teil der Frage entfernt. Was ich damit meinte, ist: Was ist die Intuition hinter dieser Definition? Denn soweit wir haben $\mathbb{R}^3$ Wir haben bereits Vektoren, diese Definition scheint nicht wirklich erforderlich zu sein.
Ich denke, "was ist die Intuition dahinter" ist immer noch keine objektive Frage. Dies ist eine der äquivalenten Möglichkeiten, einen Vektor zu definieren. Die Frage, warum man einen gleichwertigen Weg einem anderen vorzieht, ist objektiv nicht beantwortbar.
Ich frage nicht, warum ich diese Definition anstelle einer anderen wähle, sondern warum diese Definition selbst Sinn macht. Der Punkt ist, dass , wenn wir auf einer glatten Mannigfaltigkeit definieren, ich das Problem verstehen kann, wir uns mit verschiedenen Koordinatendiagrammen befassen müssen. Dies wird sogar in Spivaks Buch erklärt. Aber Physiker scheinen diese Definition schon sehr früh zu verwenden, nur mit dem Vektorraum $\mathbb{R}^3$ . Und sie fragen genau eine Transformationseigenschaft in Bezug auf Rotationen ab, nur eine bestimmte Art von Basiswechsel.
Aber aus der linearen Algebra wissen wir, dass wir bei drei Zahlen und einer Menge von Basisvektoren bereits einen Vektor haben. Es wird niemals eine Anforderung an die drei Nummern gestellt. Außerdem gibt es viele andere Basiswechsel, die wir durchführen können. Also ich kann diese Definition nicht wirklich verstehen.
Ah, ja, "drei Zahlen und ein Satz Basisvektoren" . Der Physiker verbirgt die Tatsache, dass die drei Zahlen die Koeffizienten von Basisvektoren hinter diesem Transformationsgesetz sind, aber Sie können leicht zeigen, dass drei Zahlen, die diesem Transformationsgesetz unter Drehungen gehorchen, drei Koeffizienten von Basisvektoren entsprechen. Es ist gleichwertig, nur eine andere Wahl der Definition.
Wenn Physiker von Vektoren sprechen, sprechen sie nicht nur von Rotationen. Andere Transformationen sind ebenfalls beteiligt. Betrachten Sie einen Vektor $\vec A$ . Bei der Paritätstransformation werden ihre Komponenten negiert. Es sei denn $\vec A$ ist eigentlich ein Vektorprodukt zweier anderer Vektoren $\vec B x\vec C$ unter Parität bleiben seine Komponenten unverändert. In diesem Fall nennen wir es einen Pseudo-Vektor.
Vielleicht ist es erwähnenswert, dass Physiker, wenn sie von einem Vektor sprechen, eigentlich einen kontravarianten Vektor meinen. Während für Mathematiker ein Vektor nur ein Element aus einem Vektorraum ist.
@ACuriousMind: „Intuitionsfragen“ sind für neugierige Menschen, die verstehen und verfolgen wollen, wie wissenschaftliche Theorien aufgebaut werden und warum und wie sie scheitern. Sie sind, ähnlich wie Geschichte und Praxis und Meinung, von zentraler Bedeutung für sie. "Objektive Fragen" sind nur für jene Götter, die wissen, dass sie die absolute Wahrheit erlangt haben und ihre Meinung für über jeden Zweifel erhaben halten. Und Stapeltausch ist für Menschen, nicht für Götter ;.)
Nur eine Bemerkung: Ein Informatiker würde noch eine andere Definition eines Vektors als eine bestimmte Art von Datenstruktur geben.

Benutzer10851 · Answer 1

Dies ist eine sehr häufige Trennung zwischen Mathematikern und Physikern (oder zumindest den Physikern, denen seltsame Dinge beigebracht wurden).

Was in der "Physiker"-Definition des Vektors unausgesprochen bleibt und was meiner Meinung nach die meisten Leute, die diese Definition verwenden, nicht zu schätzen wissen, ist, dass Sie, wenn Sie ein Zahlentupel erhalten, implizit eine Regel zum Erzeugen der Komponenten in jeder Basis erhalten .

Ein physikalisches Beispiel: Betrachten Sie den Vektor $\vec{v} = (\cos\theta, \sin\theta)$ ausgedrückt in kartesischen Koordinaten $(x,y)$ . Wir wissen, dass dies ein Vektor ist, denn wenn wir unsere Achsen rotieren (z $(x',y')$ $45^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn von $(x,y)$ ) aber weiter gemessen $\theta$ als Winkel zu was auch immer unsere erste Achse ist ( $x$ oder $x'$ ), würden wir dasselbe bekommen. Das ist, $\cos\theta\ \hat{x} + \sin\theta\ \hat{y} = \cos\theta'\ \hat{x}' + \sin\theta'\ \hat{y}'$ , und wir werden uns nicht die Mühe machen, die Primzahl an zu schreiben $\theta'$ , da jeder weiß $\theta$ ist der Winkel zur ersten unserer beiden Achsen. In Matrixform,

(\begin{matrix} \cos 45^{\circ} & Sünde 45^{\circ} \\ - Sünde 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos θ \\ Sünde θ \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (θ - 45^{\circ}) \\ Sünde (θ - 45^{\circ}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ^{'} \\ Sünde θ^{'} \end{matrix}) \overset{sieht aus wie}{\sim} (\begin{matrix} \cos θ \\ Sünde θ \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} \cos45^\circ & \sin45^\circ \\ -\sin45^\circ & \cos45^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta-45^\circ) \\ \sin(\theta-45^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta' \\ \sin\theta' \end{pmatrix} \stackrel{\text{looks like}}{\sim} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}.$

Andererseits, $(\cos\theta, 2)$ ist kein Vektor, denn im gestrichenen Koordinatensystem wäre es ein Vektor

(\begin{matrix} \cos 45^{\circ} & Sünde 45^{\circ} \\ - Sünde 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos θ \\ 2 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 2 + \cos θ \\ 2 - \cos θ \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} \cos θ^{'} \\ 2 \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} \cos45^\circ & \sin45^\circ \\ -\sin45^\circ & \cos45^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 2+\cos\theta \\ 2-\cos\theta \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} \cos\theta' \\ 2 \end{pmatrix}.$

Ein mathematisches Beispiel: Betrachten Sie das Tupel $(\cos\theta, 2)$ . Lassen $\vec{v}$ sei der Vektor mit diesen Koeffizienten in kartesischen Koordinaten. Wenn wir unsere Koordinaten um drehen $45^\circ$ , haben wir immer noch denselben Vektor, aber seine Komponenten ändern sich:

\begin{aligned} \vec{v} & \overset{Original}{⟶} (\cos θ, 2), \\ \vec{v} & \overset{neu}{⟶} \frac{1}{\sqrt{2}} (2 + \cos θ, 2 - \cos θ) . \end{aligned}

$\begin{align} \vec{v} & \stackrel{\text{original}}{\longrightarrow} (\cos\theta, 2), \\ \vec{v} & \stackrel{\text{new}}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2}} (2+\cos\theta, 2-\cos\theta). \end{align}$

Es ist nicht so, dass die Komponenten für Physiker irgendwie messbar oder physikalisch bedeutungsvoll wären. Physiker komprimieren oft eine ganze Familie von Formeln in einen Ausdruck und vermitteln (auf oft unklare Weise) mehr Informationen, als die Notation vermuten lässt. Bei so vielen Informationen besteht jedoch die Möglichkeit, dass die Formeln für Koeffizienten nicht damit übereinstimmen, dass es sich um einen Vektor in einem Vektorraum handelt. In diesem Fall hat man nicht die Formel für einen Vektor, oder vielmehr hat man viele Formeln für viele verschiedene Vektoren.

Timäus · Answer 2

Ein Mathematiker wird sagen, dass ein Vektor ein Element eines Vektorraums ist und ein Vektorraum nur eine Menge mit einer binären Addition und einigen Skalaren und einer Operation zum Skalieren eines Vektors durch einen Skalar ist. Ihr Vortrag über drei Zahlen würde für einen Mathematiker nicht zu einem Vektor werden, bis Sie sagen, wie Sie die Vektoren addieren und mit einem Skalar skalieren.

Operationen sind also für alle von Bedeutung.

Aber es gibt noch mehr Operationen. Schauen wir uns Spaltenvektoren und Zeilenvektoren an. Mit der üblichen Matrixaddition und Skalierung sind beides Vektorräume. Sie haben aber auch eine natürliche Beziehung zueinander (gegeben durch die Matrixmultiplikation).

Und jetzt stellen wir fest, dass sich die beiden, obwohl sie jeweils ein n-Tupel sein könnten, bei einer Drehung unterschiedlich transformieren , wenn die Idee darin besteht, dass jede eine lineare Funktion ist, die die andere als Argument verwendet.

Sie können sich den Zeilenvektor vorstellen $r$ als etwas, das Spaltenvektoren nimmt $c_1$ Und $c_2$ und sendet ihre Linearkombination $\alpha c_1+\beta c_2$ Zu $r(\alpha c_1+\beta c_2)=\alpha r c_1+\beta r c_2.$

Oder Sie können sich einen Spaltenvektor vorstellen $c$ als etwas, das Zeilenvektoren nimmt $r_1$ Und $r_2$ und sendet ihre Linearkombination $\alpha r_1+\beta r_2$ Zu $(\alpha r_1+\beta r_2)c=\alpha r_1c+\beta r_2c.$

Und wenn nun dieser natürliche Vorgang, Funktionen voneinander zu sein, respektiert werden soll, müssen sich die Spalten- und Zeilenvektoren unterschiedlich transformieren, obwohl beide n Tupel sind.

Und eine Basis für das eine bestimmt eine Basis für das andere, wenn Sie das Matrixprodukt verwenden möchten.

Wenn der Vektor Komponenten in zwei Basis hat, die durch zwei Spaltenvektoren gegeben sind, und die Transformation durch eine Matrix gegeben ist $\Lambda$ links wirkend müssen die Zeilenvektoren mit multipliziert werden $\Lambda^{-1}$ auf der rechten Seite.

Operationen sind immer wesentlich, da der Zweck eines Objekts darin besteht, Dinge damit zu tun .

In der Tat ist ein Vektor aus mathematischer Sicht ein Element eines Vektorraums. Aber es scheint, dass die Definition des Physikers mehr als das erfordert.

Für einen Mathematiker sind sowohl ein Zeilenvektor als auch ein Spaltenvektor Vektoren (in verschiedenen Vektorräumen). Für einen Physiker wissen wir, dass es sich um lineare Objekte in ihren eigenen linearen Räumen handelt, aber Sie können eine Basis für das eine auswählen und auch eine Basis für das andere erhalten !

Und zusätzlich zum Skalieren und Addieren gibt es eine dritte Operation, bei der zwei Vektoren aus diesen zwei verschiedenen Räumen (deren Basis zueinander in Beziehung steht) eine Zahl ergeben. Insbesondere für einen Rahmen $\{v_1,v_2,v_3\}$ von unabhängigen, sagen wir, Spaltenvektoren in einem Raum gibt es einen reziproken oder dualen Rahmen $\{w_1,w_2,w_3\}$ von Vektoren, sagen wir Zeilenvektoren aus dem anderen Raum, so dass $w_i v_j=\delta_{ij}$ (wobei das Kronecker-Delta Null ist, es sei denn $i=j$ in diesem Fall ist es eins).

Eine Basis für das eine gibt also natürlich eine Definition für eine Basis für das andere. Es ist diese Beziehung zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen, die wichtig ist. Sie sind anders. Das Addieren von zwei Nicht-Null-Zeilenvektoren ergibt einen neuen Zeilenvektor. Das Addieren von zwei Nicht-Null-Spaltenvektoren ergibt einen neuen Spaltenvektor. Wenn Sie jedoch versucht haben, einen Zeilenvektor und einen Spaltenvektor hinzuzufügen, ist dies nicht Teil der Definition eines der Vektorräume allein. Wenn überhaupt, würdest du sie einfach getrennt halten, als würdest du eine imaginäre Zahl zu einer reellen Zahl addieren. Und es ist die Multiplikation, die wesentlich ist. Und keiner der Vektorräume allein spricht über diese Multiplikation.

Ein Physiker möchte Ihnen ausdrücklich sagen, dass beide Vektorräume nützlich und notwendig sind und dass sie sich unterschiedlich transformieren, obwohl sie (in gewissem Sinne) eine gemeinsame Basis haben. Und wenn Sie wissen, wie sich jedes transformiert, können Sie sagen, welches was ist.

Der Schlüssel ist also zu wissen, dass, wenn Sie eine Basis und eine Cobasis haben, die wechselseitig zueinander sind, sie sich auf wechselseitige Weise verändern. Das ist der Schlüssel. Also sagte ich, Operationen sind für alle wichtig. Aber Physiker ziehen neben Addition und Skalierung zwei Räume und eine ganz neue Operation in Betracht.

Wenn Sie eine Basis ändern, ändert sich die andere Basis und die Koordinaten beider ändern sich, aber auf unterschiedliche Weise.

Ihre Zeilenvektoren sind das, was ein Mathematiker Einsformen nennen würde: lineare Funktionen von Vektoren.
@tfb Das OP sagte ausdrücklich, dies sei nicht auf einem Verteiler. Sie sind also nur zwei Vektorräume mit ihren eigenen separaten Additionen und ihren eigenen separaten Skalarmultiplikationen. Und sie können aufeinander einwirken. Aber es gibt keinen Grund, eine der beiden eine Einsform und die andere einen "echten" Vektor zu nennen. Das einzige, was wir wissen, ist, dass sie sich unterschiedlich verwandeln. Wenn man umwandelt $\Lambda$ auf der einen Seite verwandelt sich die andere durch $\Lambda^{-1}$ auf der anderen Seite.
Einsformen haben nichts mit Mannigfaltigkeiten zu tun: Eine Einsform ist genau eine lineare Funktion von Vektoren in jedem Vektorraum. Sie sind natürlich Elemente des dualen Vektorraums, und die ursprünglichen Vektoren sind Einsformen in diesem dualen Raum. Der Punkt ist, dass man sich von dem Ansatz der alten Physiker lösen kann, von Transformationsregeln besessen zu sein.
@tfb Sie möchten die Tatsache "loswerden", dass sich bei einer Operation zwischen zwei Räumen ihre Darstellungen auf verwandte Weise ändern müssen? Und ersetzen Sie es durch eine Art Mystik , bei der Sie Spalten- und Zeilenvektoren unterschiedliche Namen zuweisen? Ist Ihnen bewusst, dass einige Teile der Welt reguläre Vektoren als Zeilenvektoren und Covektoren als Spaltenvektoren schreiben und andere Teile der Welt reguläre Vektoren als Spaltenvektoren und Covektoren als Zeilenvektoren schreiben. Und der Urraum ist nur isomorph mit dem Doppeldual in einem endlichdimensionalen Urraum.
@tfb Es ist einfach eine Tatsache, dass sich die beiden auch bei einer aktiven Transformation unterschiedlich verwandeln müssen, wenn Sie ihr Produkt erhalten möchten.
@Timaeus, danke für deine Antwort. Ich habe die Frage zu dem Betriebsproblem bearbeitet, über das Sie gesprochen haben. In der Tat ist ein Vektor aus mathematischer Sicht ein Element eines Vektorraums. Aber es scheint, dass die Definition des Physikers mehr als das erfordert. Könntest du dir die Bearbeitung anschauen? Danke noch einmal!
@Timaeus: Alles, was ich tun möchte, ist vorzuschlagen, dass es interessanter sein könnte, sich auf die Eigenschaften von Vektorräumen als Vektorräume zu konzentrieren , anstatt sich nur intensiv auf eine bestimmte Eigenschaft und eine bestimmte Darstellung zu konzentrieren. Das ist es, was Mathematiker tun, und vielleicht können Physiker von dem lernen, was sie tun (ich weiß, dass dies Ketzerei ist). Und natürlich sind die verschiedenen Dinge, die nicht gelten, wenn die Dimension nicht endlich ist, nur eine der interessanten Eigenschaften!
@tfb Es geht nicht um eine Vertretung. Physiker betrachten einen linearen Raum einfach als eine Teilmenge eines multilinearen Raums. Wenn Mathematiker multilineare Räume und Multivektoralgebren behandeln würden, wenn sie Vektoren behandelten, dann gäbe es keine Notwendigkeit, zwei Kulturen zu diesem Thema zu haben. Ein Vektorraum ist nur eine Teilmenge eines multilinearen Raums.
@Timaeus: Es tut mir leid, nichts, was ich gesagt habe, hatte etwas mit multilinearen Räumen zu tun, und die Frage auch nicht, soweit ich das beurteilen kann. Diese Diskussion führt nirgendwo hin, also höre ich jetzt auf.
@tfb Ich habe Ihnen die ganze Zeit gesagt, dass Physiker die Definition, die sie verwenden, verwenden, weil sie multilineare Algebra benötigen, um Physik zu betreiben. Wenn Sie multilineare Algebra unterrichten, sehen Sie viele Teilmengen, die lineare Räume sind. Einige davon sind sogar als lineare Räume isomorph. Aber Sie möchten immer noch in der Lage sein, ein Covektor-Vektorpaar zu unterscheiden und sich nicht darüber zu verwirren, welches Sie zu einem bestimmten Zeitpunkt haben. Es ist die Antwort auf die Frage.
Ich denke, alles, was ich möchte, ist, dass Sie nicht behaupten, dass "Physiker die Definition verwenden, die sie verwenden": Ich bin ein Physiker, und ich tue es nicht. Aber andererseits bin ich eine GR-Person, und ich glaube nicht, dass GR-Leute das tun, also sind wir vielleicht nur komisch.
@tfb Ich bin auch eine GR-Person und ich glaube dir nicht wirklich. Aber es ist möglich, dass wir aneinander vorbeireden und glauben, der andere würde etwas anderes sagen, als wir eigentlich sagen. Das OP fragte, warum Menschen tun, was sie tun. Und der einzige wirkliche Grund besteht darin, eine Anteilsbasis für einen Rahmen von Vektoren und einen Rahmen von Covektoren zu verfolgen. Sie müssen niemals eine Basis verwenden, daher ist dies nicht erforderlich (Sie können Tangentenverteiler oder Kotangensbündel oder alles, was Sie möchten, ohne Basis haben). Aber Griffiths hat Recht: Wenn Sie wählen $n$ Lorentz-Skalare, eine geordnete $n$ -Tupel von ihnen ist kein Vektor.
Ich denke, wir reden aneinander vorbei: Kommentarforen führen dazu. Für GR finde ich, dass der Ansatz, den Tangentialraum aus Richtungsableitungen aufzubauen, seinen dualen Raum aufzubauen, zu sehen, dass Vektoren im dualen Raum (Einsformen) Gradienten von Funktionen sind, und dann einfach die gesamte Maschinerie von dort aus zu bauen, um geometrisch nützlicher zu sein als der Buchführungs-Vektoren-sind-Tupel-mit-einem-Transformationsgesetz-Ansatz. Natürlich wandeln sich die Komponenten der Dinge in diesen Räumen unter einem Basiswechsel, aber Vektoren und all die anderen Objekte sind für mich mehr als nur ihre Komponenten.
(Forts.) Die n-Skalare-sind-kein-Vektor-Sache ist auch interessant. Wählen Sie drei skalare Felder aus, $R$ , $G$ , $B$ auf einer Mannigfaltigkeit definiert. Na klar $(R,G,B)$ irgendwann ist an diesem Punkt kein Element des Tangentialraums. Aber es ist ein Element eines Raums: Tatsächlich gibt es die Farbe jedes Punkts der Mannigfaltigkeit an, und es gibt eine offensichtliche Faserbündelstruktur, wobei die Fasern Farbraum sind. Ich denke, das ist mein Problem mit der ganzen Sache: Der Tupel-mit-einer-Regel-Ansatz verschmilzt Vektoren und den Raum, in dem sie leben, und nennt nur Vektoren in einem Raum (oder einer Faser) Vektoren.
@tfb Wenn Sie die Antwort sorgfältig lesen, werden Sie feststellen, dass ich nur sage, dass eine Basis für einen Vektorraum effektiv auch eine Basis für seinen dualen Raum ist und Sie die beiden gerade halten müssen. Es geht darum, wie sich die Komponenten in beiden ändern müssten, wenn Sie eine Basis ändern. Der eigentliche Punkt ist, Sie auf verschiedene Räume vorzubereiten, und da die Schüler bereits an Zeilenvektoren und Spaltenvektoren aus der Matrizenalgebra gewöhnt sind, sollten sie dies wissen. Es ist nicht die vollständige Lektion in allem, was Sie über multilineare Algebra wissen müssen, es ist nur die erste Lektion. Und in der Physik macht man multilineare Algebra

lalala · Answer 3

Lassen Sie mich versuchen zu erklären (bleiben wir im flachen dreidimensionalen Raum):

In der Physik wird jedes Zahlentripel, das sich wie der Radiusvektor unter Drehungen transformiert, als Vektor bezeichnet. (Diese Definition wird zum Beispiel in Feynmans Vorlesungen gegeben) Warum ist diese Definition nützlich: Wir wollen, dass ein Vektor eine „reale“/physikalische Größe darstellt. Stellen Sie sich einfach einen Pfeil vor, der in Ihrem Raum platziert ist (das ist eine Art reale Größe), wählen Sie jetzt ein beliebiges rechteckiges Koordinatensystem und notieren Sie die Komponenten. Nehmen Sie nun ein anderes Koordinatensystem und machen Sie dasselbe. (natürlich sind sie durch das richtige Transformationsgesetz verwandt). Wenn sie dem Transformationsgesetz nicht folgen würden, würde der "Pfeil" von Ihren Koordinaten abhängen. Die Physik kann nicht von Ihrer Wahl der Koordinaten abhängen (Sie sind ein bisschen in Schwierigkeiten, wenn dies der Fall ist).

Vielleicht hilft dieses Beispiel: Wählen Sie ein Koordinatensystem (als ob Sie wirklich ein Lineal hinlegen würden). Messen Sie die Temperatur bei (0,0,1), bei (0,1,0) und bei (1,0,0). Nehmen wir an, sie sind unterschiedlich. (0,0,1) ist in deiner Wohnung, (0,1,0) ist draußen und (1,0,0) ist auf deiner Heizplatte. Schreiben Sie dieses Tripel auf. Ist es ein Vektor oder 3 Skalarzahlen? (letzteres natürlich). Wenn Sie das Koordinatensystem drehen, wird es nicht wie ein Vektor transformiert.

Natürlich kann man formal sagen, dass man immer die Standardbasis von R^n nimmt (der mathematische Ansatz) und dann jede Zahlenfolge einen Vektor definiert. Dies stellt jedoch keine "echten" Vektoren dar.

Karkasse · Answer 4

Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass Griffiths Erklärung das Problem nicht trifft. Sagen $N_p$ sind Birnen u $N_b$ sind Bananen, in die wir Komponenten ändern können $N_T=N_p + N_b$ die Gesamtzahl der Früchte und $N_D=N_p - N_b$ der Unterschied. Dies ist ebenso eine lineare Transformation wie eine Drehung im Raum. Es gibt viele Zweige in Physik und Technik, die dies tun (im Grunde jeder Minimierungsprozess in einem bestimmten Parameterraum). Also, was ist anders?

Der Unterschied besteht darin, dass die Arten von Vektoren, die er betrachtet (unendliche Verschiebung, Geschwindigkeit, Kraft, ...) an einem Punkt definiert sind: Sie haben einen Anwendungspunkt . Das heißt, es ist nicht nur so, dass Sie eine Geschwindigkeit haben, Sie haben eine Geschwindigkeit hier im Massenmittelpunkt des Balls. Sie haben nicht nur eine Kraft, die Kraft wird hier im Zentrum dieses Autos aufgebracht. Die Summierung zweier Kräfte, die an zwei verschiedenen Punkten angreifen, hat keine Bedeutung. Außerdem hängt die Einheit der Komponente von der Raumeinheit ab. Wenn $x$ wird dann in Metern gemessen $v_x$ wird in Metern pro Sekunde gemessen. Es gibt also einen Zusammenhang, wie sich die Änderung der Koordinaten im Raum auf die Komponenten Ihres Vektors auswirkt .

Nun, mathematisch würden Sie sagen, dass Sie wirklich eine Mannigfaltigkeit haben und der Vektor in seinem Tangentenraum ist. Das geht aber physikalisch überhaupt nicht. Da wir Geschwindigkeiten nicht mit Kräften summieren können, müssen sie in verschiedenen Tangentialräumen leben. Sie sagen also im Grunde, dass ein Vektor eine Menge von Zahlen ist, die sich auf eine bestimmte Weise ändern (dh sie sind isomorph zu Vektoren im Tangentialraum an dem Punkt).

Hoffe das hilft!

Quillo · Answer 5

In der Physik soll Ihr "Vektor" meistens eine physikalische Größe sein, nicht nur eine willkürliche Aneinanderreihung von Zahlen (Birnen, Äpfel ... wie in Ihrem Beispiel). Daher muss es sich in die physikalische Größe verwandeln, die es darstellen soll. Im Allgemeinen interessieren wir uns in der Physik für Felder (skalar, vektoriell, tensorial, spinorial), die sich unter der Wirkung einer bestimmten Gruppe von Transformationen auf bestimmte Weise transformieren: Unsere Vektoren sind die üblichen "Vektoren" der "linearen Algebra" plus die Voraussetzung, dass sie "Tensoren" für eine bestimmte Interessengruppe sind.

Kurz gesagt: Vektoren in der Physik sind Mathematiker-Vektoren (dh sind Elemente eines Vektorraums) ... aber nicht alle Mathematiker-Vektoren sind "physikalische Vektoren" (dh Mathematiker-Vektoren können "Listen" sein).

Wenn Sie Ihre eigenen Regeln erfinden, um das Hinzufügen von Birnen, Äpfeln und Elefanten sinnvoll zu machen, können Sie Ihren "linearen Algebra-Vektor" zu einem "Physik-Vektor" unter Ihren entworfenen Regeln aufrüsten.

Anmerkung Nr. 1: Ein "linearer Algebra-Vektor" wie (Temperatur, Dichte, Geschwindigkeitsmodul, Magnetfeldstärke ...) besteht aus vielen (skalaren) physikalischen Größen, verhält sich aber nicht wie ein echter "physikalischer" Vektor.

Anmerkung Nr. 2: nützliche Antworten auf dieselben Fragen (in einer verwandten Frage): https://physics.stackexchange.com/a/627426/226902 , https://physics.stackexchange.com/a/627456/226902 , https ://physics.stackexchange.com/a/406415/226902

Physikerdefinition von Vektoren basierend auf Transformationsgesetzen

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