Kräfte als Einsformen darstellen

Diese Frage entstand aufgrund meiner ersten Frage Interpreting Vector fields as Derivations on Physics . Der Punkt hier ist: wenn etwas Kraft F konservativ ist, dann gibt es ein Skalarfeld U das ist das Potenzial, damit wir schreiben können F = − ∇ U .

Das ist in Ordnung, es sagt, dass Kraft ein Kovektor ist, aber der Punkt ist: Wenn wir anfangen, über gekrümmte Räume nachzudenken, sprechen wir im Allgemeinen, anstatt über Gradienten und Kovektoren, über äußere Ableitungen und Einsformen.

Meine Frage ist dann: Ist eine Kraft konservativ mit Potenzial? U dann ist es richtig, die Kraft durch die Einsform darzustellen, die durch die äußere Ableitung des Potentials erhalten wird, mit anderen Worten die Form F = − d U ?

Zweitens, wenn die Kraft nicht konservativ ist, ist es dann richtig, sie schon als eine Form zu betrachten? Aber was ist jetzt die Deutung?

Ich habe versucht, diese Interpretation zu geben: Angenommen, wir haben es mit einer Mannigfaltigkeit zu tun M und nehme das an ( v , x ) ist ein Koordinatendiagramm. Dann { d x ich } überspannt den Kotangensraum, und so, wenn wir eine Kraft an dem Punkt interpretieren p als eine Form F ∈ T p ∗ M dann haben wir F = F ich d x ich unter Verwendung der Summationskonvention.

Wenn ich jetzt einen Vektor nehme v ∈ T p M wir können rechnen F ( v ) = F ich d x ich ( v ) , jedoch, d x ich ( v ) = v ich und daher F ( v ) = F ich v ich und daher lautet meine Schlussfolgerung: Wenn ich Kraft an einem Punkt als eine Eins-Form an dem Punkt interpretiere, dann ist es eine Form, die, wenn ihr ein Vektor gegeben wird, die Arbeit ergibt, die geleistet wird, um ein Teilchen in die Richtung des gegebenen Vektors zu bewegen.

Wenn also eine Kraft von Punkt zu Punkt variiert, könnte ich sie als ein Feld darstellen, das entlang eines Pfades integriert werden kann, um die geleistete Gesamtarbeit zu ermitteln.

Kann jemand diese Punkte beantworten und mir sagen, ob meine Schlussfolgerung richtig ist?

Für eine nicht-relativistische Behandlung eines geladenen Teilchens auf einer Riemannschen 3-Mannigfaltigkeit siehe. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Antworten (3)

Um zu verstehen, was ein Newtonsches Kraftfeld ist, werfen wir einen Blick auf das zweite Newtonsche Gesetz

F = m a
Dies führt zu der folgenden differentiell-geometrischen Beziehung
( m ∘ q ˙ ) ⋅ = F ∘ q ˙
wo m : T M → T ∗ M Karten vom Geschwindigkeits- zum Impulsraum und q : ich ⊂ R → M ist die Flugbahn.

Das Kraftfeld wird schließlich zu einer Landkarte

F : T M → T T ∗ M

Lassen

π : T ∗ M → M Π : T T ∗ M → T ∗ M
seien die Bündelprojektionen.

Dann

m = Π ∘ F T π ∘ F = ich d T M

Die letztere Gleichung entspricht dem Semi-Spray-Zustand und sagt uns, dass wir es mit einem Feld zweiter Ordnung zu tun haben.

Denn die Bündel T T ∗ M und T ∗ T M sind von Natur aus isomorph - in Koordinaten tauschen wir einfach die Komponenten ( x , p ; v , f ) ↦ ( x , v ; f , p ) - wir können es als Differentialform weiter darstellen T M , das ist nur das Differential d L der Lagrange-Funktion (die Euler-Lagrange-Gleichung sind Newtonsche Bewegungsgleichungen).

Nun hat der Raum der Newtonschen Kraftfelder keine natürliche Vektorraumstruktur, sondern eine affine Struktur. Sie müssen eine Nullkraft angeben – eine Trägheitskraft – um daraus eine zu machen. Eine solche Kraft kann beispielsweise durch das geodätische Spray der Allgemeinen Relativitätstheorie gegeben sein.

Sobald dies erledigt ist, können Sie das Kraftfeld als Abschnitt des Pullback-Bündels darstellen τ ∗ ( T ∗ M ) wo τ : T M → M . Dies ist ein geschwindigkeitsabhängiges Kovektorfeld, das Sie tatsächlich über eine Potentialfunktion integrieren oder daraus ableiten können (bei Geschwindigkeitsunabhängigkeit).

Nun, für diejenigen, denen diese Abstraktionsebene unangenehm ist, versuchen wir einen praktischeren Ansatz:

Geometrisch ist die Beschleunigung gegeben durch ( x , v ; v , a ) ∈ T T M . Dieser Raum hat jedoch die falsche Struktur - wenn wir zwei Beschleunigungen addieren, die auf dasselbe Teilchen wirken, erhalten wir am Ende ( x , v ; 2 v , a + a ' ) , was keine gültige Beschleunigung mehr ist.

Was wir stattdessen wollen, sind Vektoren ( x ; a ) ∈ T M oder ( x , v ; a ) ∈ τ ∗ ( T M ) bei geschwindigkeitsabhängigen Beschleunigungen, und ein Rezept, wie man von diesen zu unserer ursprünglichen Beschleunigung kommt, wie sie in unserer Bewegungsgleichung vorkommt.

Nehmen wir also an, unsere Beschleunigung ist geschwindigkeitsunabhängig und dargestellt durch ( x ; a ) ∈ T M . Durch vertikales Anheben des Vektors bei ( x ; v ) ∈ T M , kommen wir an ( x , v ; 0 , a ) ∈ T T M . Was „fehlt“, ist die horizontale Komponente ( x , v ; v , 0 ) ∈ T T M .

Obwohl ein solcher horizontaler Auftrieb in Koordinaten trivial aussieht, ist er keine „natürliche“ Operation in der Differentialgeometrie. Sie können dies auf zwei offensichtliche Arten beheben, indem Sie entweder eine Verbindung bereitstellen (es ist trivial zu sehen, wie dies funktioniert, wenn Sie den geometrischen Ansatz nach Ehresmann verwenden) oder indem Sie die Beschleunigung „Null“ aufgrund der Trägheit manuell angeben.

Bleibt noch die Frage zu beantworten, warum wir Kräfte anstelle von Beschleunigungen verwenden, oder anders formuliert, warum bewegen wir uns in den Kotangensraum?

Aus Sicht der Differentialgeometrie lautet eine Antwort auf diese Frage, weil wir mit Potentialen arbeiten wollen, die weniger komplizierte Objekte sind, und das Differential Covektoren anstelle von Vektoren liefert.

Ein weiterer Gesichtspunkt ist der T T ∗ M , T ∗ T M und T ∗ T ∗ M sind von Natur aus isomorph, wohingegen T T M ist nicht. Diese Isomorphismen führen zu mehreren (mehr oder weniger) äquivalenten Formulierungen der analytischen Mechanik, einschließlich des Newtonschen, Lagrange- und Hamiltonschen Ansatzes.

Entschuldigung für die Erweiterung des Umfangs der Frage - ignorieren Sie diese Abschweifungen;)

Wow, sehr ausführlich. Habe diese Allgemeingültigkeit nicht wirklich berücksichtigt. Gibt es Anwendungen davon?
@Christoph, in der Tat eine sehr gute Antwort, es ist die Art von Herangehensweise an die Physik, die ich mag. Könnt ihr mir ein Buch empfehlen, das mehr von diesen Themen abdeckt? Ich meine, Physik studieren mit rigoroser Mathematik? Danke für deine erneute Antwort.
Ich mag den Ansatz, den Sie verfolgen, aber die Dinge erscheinen mir wirklich seltsam. Sollte die Kraft nicht natürlich ein Covektorfeld sein? F : M → T ∗ M und Newtons 2. Gesetz ist g ( F , ⋅ ) = m a oder so? Ist es nicht natürlich, ein Spray auf diese Weise zu finden?
@alexarvanitakis: Mir sind keine Anwendungen bekannt; Die „interessanten Sachen“ werden normalerweise mit dem Hamilton- oder Lagrange-Ansatz gemacht, die mit gut entwickelten Verallgemeinerungen einhergehen
@ user1620696: Wenn Sie speziell an diesem Ansatz interessiert sind, ist mir keine Literatur bekannt (was nicht heißt, dass sie nicht existiert) - es ist nur eine Kleinigkeit, die ich herausgefunden habe, weil mich diese Newtonsche Mechanik immer gestört hat wird oft als weniger allgemeiner, nicht kovarianter Ansatz dargestellt, der nur im 3-Raum funktioniert
@cduston: Vergessen wir vorerst doppelte Leerzeichen; die Gleichung zweiter Ordnung q ¨ = Y ∘ q ˙ sagt uns, dass das Beschleunigungsfeld Y muss ein Halbspray sein; Das Problem ist, dass es keinen natürlichen Weg gibt, ein solches Vektorfeld zweiter Ordnung aus einem Vektorfeld erster Ordnung ohne zusätzliche Struktur (z. B. eine Verbindung) zu erhalten.
Nun muss ich Ihrer weiteren Erklärung widersprechen; wir sollten niemals erwarten, dass sich Beschleunigungen "addieren", wie die Newtonschen Gesetze sagen ∑ F = m a , nicht ∑ a = F / m . Wenn Sie Felder zweiter Ordnung hinzufügen möchten, müssen Sie wohl etwas tun, was Sie vorschlagen, aber es mit der Mechanik zu verbinden, ist falsch. Ich denke, mein Argument ist, dass die Diskussion zu ungenau ist, ohne mit einem Potenzial zu beginnen und eine Verbindung zu verwenden.
@cduston: ∑ F ich = m x ¨ ⇔ x ¨ = ∑ a ich zum a ich ≡ F ich / m
Sie haben gerade die Beschleunigung als 1-Form definiert (wenn die Masse ein Skalar ist), aber die Beschleunigung ist natürlich die zweite Ableitung der Position. Sie kommen oben heraus, indem Sie Masse als Isomorphismus der Dualität definieren, aber das scheint Einfachheit gegen Formalismus einzutauschen. Wir brauchen nicht weiter zu schwätzen; Meine Perspektive ist in Kapitel 3 von 'Quantum Gravity' von Rovelli und Diracs Mechanics-Buch schön zusammengefasst, falls jemand interessiert ist (und immer noch zuhört ;-) )

Es gab eine ziemlich lange Diskussion darüber, ob Kraft natürlicherweise ein Vektor oder ein Covektor ist, drüben in den Physikforen: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=666861 .

Wenn Sie den Impuls als „das, was zur Position konjugiert ist“ definieren, dann ist der Impuls ein Kovektor. Dh wenn Sie einen Lagrange haben, dann:

p μ = ∂ L ∂ x ˙ μ

Kraft kann dann interpretiert werden als d p μ / d τ . Oder Sie können Kraft direkt aus der Lagrange-Funktion definieren als:

F μ = ∂ L ∂ x μ

Kombiniert mit dem Argument über die Arbeit, die Sie geleistet haben, wo W = ∫ F ich d x ich , erscheint es sehr überzeugend, dass Kraft natürlich als Covektor interpretiert werden sollte.

Es ist notwendig, den Raumzeitpunkt mit zu bezeichnen x μ ? Wenn ich benutze x μ um den Raumzeitpunkt zu bezeichnen, dann wären sowohl der Impuls als auch die Kraft eher ein Vektor als ein Covektor. Die einzige Sache ist, dass gezeigt werden kann, dass wenn x μ ist ein Vektor ∂ ∂ x μ einer Skalarfunktion ist ein Covektor. @Jold
@SRS x μ hat in Ermangelung einer Metrik keine Bedeutung, weshalb x μ ist die "natürlichere" Darstellung.

Alles, was Sie gesagt haben, ist richtig. Wenn eine Kraft nicht konservativ ist, dann ist sie immer noch als 1-Form sinnvoll, wenn auch nicht exakt.

Beachten Sie auch, dass die Bedingung ∇ → × F → = 0 für eine lokal durch ein Potential zu bestimmende Kraft kann geschrieben werden als d F = 0 so dass F = − d U für irgendeine Funktion U nach dem Lemma von Poincare.

Allgemeiner haben wir p-Form-Potentiale EIN denen wir Feldstärken der p+1-Form zuordnen d F . ZB können wir im Elektromagnetismus (wieder!) die Vektor- und Skalarpotentiale zu einer 1-Form auf der Raumzeit kombinieren (3+1=4) und der resultierende Feldstärketensor ist dieser .

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