Wie definieren wir in der koordinatenfreien Relativitätstheorie einen Vektor?

Ehrlich gesagt sieht dieses koordinatenfreie GR-Zeug (insbesondere Winitzkis pdf) wie GR aus, wie es von einem Mathematiker gelehrt würde - sehr ähnlich wie Carmos Text über Riemannsche Geometrie. In der klassischen (Pseudo-)Riemannschen Geometrie werden Vektoren als Ableitungen affin parametrisierter Kurven definiert, Covektoren entweder als Abbildungen von Vektoren auf Skalare oder als Gradienten von Skalarfeldern. So etwas wie der Riemann-Tensor ist definiert als eine Abbildung auf zwei/drei/vier Vektoren, die zwei Vektoren/einen Vektor/einen Skalar ausspuckt.

Differentialgeometer lieben es, alles als Kartierung zu definieren; Ich halte es ehrlich gesagt fast für einen Fetisch. Aber es ist praktisch: Die Definition höherrangiger Tensoren als Abbildungen von Vektoren bedeutet, dass der Tensor die Transformationsgesetze jedes Arguments erbt, und als solches folgen automatisch die Transformationsgesetze höherrangiger Tensoren, sobald Sie das Transformationsgesetz für einen Vektor festgelegt haben.

Bearbeiten : Ich sehe, die Frage ist eher, wie man herausfinden kann, dass eine bestimmte physikalische Größe ein Vektor oder ein höherrangiger Tensor ist. Ich denke, die Antwort besteht darin, das Verhalten der Größe bei einer Änderung des Koordinatendiagramms zu betrachten.

Aber Muphrid, wir haben uns nie für ein Koordinatendiagramm entschieden; funktioniert koordinatenfreies GR nicht so?

Ja, aber der Sinn des koordinatenfreien GR ist eben, die Auswahl der Karte so lange wie möglich hinauszuzögern . Es gibt immer noch ein Diagramm, und die meisten Ergebnisse hängen davon ab , ob es ein Diagramm gibt, nur nicht davon, was genau dieses Diagramm ist.

Wie hilft uns der Blick auf einen Horoskopwechsel (wenn wir uns gar nicht erst für ein Horoskop entschieden haben)?

Die Übergangskarte von einem Diagramm zu einem anderen ist ein Diffeomorphismus, und daher kann sein Differential verwendet werden, um Vektoren nach vorne zu schieben oder Kovektoren zurückzuziehen. Daher sind die Transformationsgesetze, die normalerweise Vektoren und Covektoren charakterisieren, immer noch vorhanden . Sie sehen so aus: let$p \in M$ein Punkt in unserer allgemeinen relativistischen Mannigfaltigkeit sein. Lassen$\phi_1: M \to \mathbb R^4$ein Diagramm sein, und lassen$\phi_2 : M \to \mathbb R^4$ein anderes Diagramm sein. Dann gibt es eine Übergangskarte$f : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4$so dass$f = \phi_2 \circ \phi_1^{-1}$die sich zwischen den Koordinatendiagrammen ändert.

Also, wenn es einen Vektor gibt$v \in T_p M$, gibt es einen entsprechenden Vektor$v_1 = d\phi_1(v)_p \in \mathbb R^4$das ist die Abbildung des ursprünglichen Vektors in die$\phi_1$Koordinatendiagramm. Dann können wir umziehen$v_1 \to v_2$durch die ( edit : differentielle der) Übergangskarte.

Aber Muphrid, sollen wir nicht mit dem eigentlichen Vektor arbeiten?$v$im Tangentialraum von$M$bei$p$, nicht sein Ausdruck in einem Diagramm,$d\phi_1(v)$?

Sie könnten das denken, aber (wie mir wiederholt in einem Kurs zur Differentialgeometrie beigebracht wurde) wir wissen eigentlich nicht , wie man in irgendetwas anderem als rechnet$\mathbb R^n$. Ich denke also, es gibt einen Taschenspielertrick, bei dem wir "wirklich" die ganze Zeit ein Diagramm verwenden, um uns hineinzubewegen$\mathbb R^4$und machen Sie den Kalkül, den wir tun müssen.

Das bedeutet, dass meiner Meinung nach koordinatenfrei eine etwas falsche Bezeichnung ist. Überall liegen noch Koordinatentafeln. Wir lassen sie einfach so lange wie möglich unbestimmt. Alle Transformationsgesetze, die Vektoren und Covektoren und andere Reihen von Tensoren charakterisieren, sind immer noch vorhanden und lassen Sie immer noch bestimmen, ob ein Objekt das eine oder andere ist, weil Sie sich immer in einem Diagramm befinden und jederzeit zwischen Diagrammen wechseln können.

Es gibt 4 gebräuchliche Definitionen von Tangentenvektoren, von denen einige Koordinaten nur beiläufig oder gar nicht verwenden.

Definition über Transformationsgesetze

Es gibt eine etwas technische Variante, die von einigen Physikern bevorzugt wird (diejenigen, die Rechenregeln über geometrische Einsichten stellen – halten Sie die Klappe und rechnen Sie, Sie kennen wahrscheinlich den Typ): Ein Vektor ist nur ein$\mathbb R$-Tupel, das bei einer Koordinatenänderung bestimmten Transformationsgesetzen gehorcht.

Diese Definition macht im Kontext des Erlanger Programms tatsächlich Sinn, da der Tangentenraum ein Vektorbündel ist, das dem Hauptbündel linearer Rahmen zugeordnet ist. Da Tangentenräume jedoch normalerweise lange vor Lie-Gruppen und Hauptbündeln eingeführt werden, erscheint die Definition nicht intuitiv.

Definition als Äquivalenzklassen von Kurven

Eine intuitivere definiert einen Vektor als eine Äquivalenzklasse von Kurven, die einander berühren. Wir müssen Koordinaten verwenden, um den notwendigen Kontakt erster Ordnung von Kurven zu definieren, aber diese Verwendung ist weit weniger ausgeprägt.

Diese Definition macht deutlich, warum Tangentenvektoren als Geschwindigkeiten betrachtet werden sollten, und geht mit einer natürlichen Verallgemeinerung auf höhere Jet-Räume einher.

Definition als Ableitungen

Wir gelangen zu einer völlig koordinatenunabhängigen Charakterisierung, indem wir Vektoren mit ihren Richtungsableitungen identifizieren: Ein Vektor ist nur eine Ableitung, dh ein lineares Funktional, das die Leibniz-Regel respektiert.

Das ist die Definition, die in der (meisten?) modernen Literatur zur Differentialgeometrie zu finden ist (wobei modern so etwas wie die 60er Jahre bedeutet).

Algebraische Definition

Ein weiterer koordinatenfreier (aber sehr abstrakter) kommt aus der algebraischen Geometrie, und Muphrid hat mich erst gestern darauf aufmerksam gemacht: Es gibt eine rein algebraische Definition des Kotangensraums , und der Tangentenraum ist nur sein Dual.

Ich vermute, dass die algebraische Definition wahrscheinlich (aus analytischer Sicht) in Bezug auf Infinitesimale konkretisiert werden kann (siehe Advanced Calculus von Sternberg für eine Definition von Infinitesimale, die in der Standardanalyse sinnvoll ist, aber natürlich nicht identisch mit dem Non ist -Standard).

Aus MTWs "Gravitation" (über Google Books):

Aktualisierte Antwort auf bearbeitete Frage:

Woher wissen wir zum Beispiel in diesem koordinatenfreien Kontext, dass der Viererimpuls als Vektor beschrieben werden kann, das Magnetfeld aber nicht?

Ich erinnere mich an einen relevanten Abschnitt aus "A First Course in General Relativity" von Schutz. In Abschnitt 4.4 zum Spannungs-Energie-Tensor:

Im Rahmen$\bar O$wir haben wieder die Anzahldichte ist$\gamma n$, aber jetzt ist die Energie jedes Teilchens$\gamma m$da es sich bewegt. Daher ist die Energiedichte$\gamma^2 mn$:

$\gamma^2 \rho =$ Energiedichte in einem System, in dem Teilchen die Geschwindigkeit v haben

Diese Transformation beinhaltet zwei Faktoren$\gamma$denn Volumen und Energie wandeln sich um . Es ist daher unmöglich, die Energiedichte als eine Komponente eines Vektors darzustellen. Es ist tatsächlich eine Komponente eines Tensors [2. Stufe].

Ich frage nicht nach einer Definition eines Tangentenvektors. Ich frage Sie, nach welchem ​​Kriterium Sie entscheiden können, ob ein bestimmtes Objekt als Tangentenvektor beschrieben werden kann. Woher wissen wir zum Beispiel in diesem koordinatenfreien Kontext, dass der Viererimpuls als Vektor beschrieben werden kann, das Magnetfeld aber nicht?

Wenn ich Ihre Klarstellung richtig verstehe, geht es bei Ihrer Frage eigentlich um die Modellierung physikalischer Systeme, und meine Antwort ist allgemein:

Wie bei jeder anderen physikalischen Theorie, indem wir die Vorhersagen unseres Modells mit dem Experiment vergleichen.

Unabhängig davon, ob wir Koordinaten oder koordinatenfreie Sprache verwenden, sagt die Geometrie Eigenschaften (z. B. Transformationsgesetze) und zulässige Operationen (z. B. Kontraktion) voraus, indem sie physikalische Größen als geometrische modelliert.

Beispiel Elektrodynamik: Im nicht-relativistischen Setting beschäftigen wir uns mit elektrischen und magnetischen 3-Vektorfeldern und verwenden das Kreuzprodukt zur Definition der Lorentzkraft. Wir machen das so, weil das Experiment uns sagt, dass die Realität auf einer bestimmten Ebene so funktioniert.

Wenn wir nun versuchen, daraus eine relativistische Theorie zu machen, können wir keine 3-Vektoren oder Kreuzprodukte verwenden, und es stellt sich heraus, dass der richtige Weg, das elektromagnetische Feld zu modellieren, eine 2-Form ist, das Ende des Lorentz-Kraftgesetzes up als Kontraktion mit dem Geschwindigkeits-4-Vektor.

Der Vorteil der relativistischen Formulierung ist, dass wir die korrekten Transformationsgesetze umsonst bekommen, dh sie sind fester Bestandteil unseres Modells.

Nun, eine 2-Form ist ein sehr generisches Objekt, und wir könnten uns fragen, ob es eine Möglichkeit gibt, zu verstehen, woher es kommt, oder ob es eine zusätzliche geometrische Struktur gibt. Dies führt uns zur klassischen Eichtheorie über Hauptbündel.

Ein weiterer Fall wäre die allgemeine Einstellung der relativistischen Mechanik: Relativistische Systeme sollten reparametrisierungsinvariant sein, und wir können eine solche Weltliniendynamik formulieren, indem wir von gewöhnlichen Jets zu Jets von Untermannigfaltigkeiten übergehen .

Was ist der Vorteil der koordinatenfreien Sprache gegenüber Koordinaten? Ich persönlich sehe es als eine Art Plausibilitätsprüfung: Eine Gleichung, die in Ihrem Modell auftaucht, nicht in koordinatenfreier Sprache aufschreiben zu können, ist ein Designgeruch und sagt Ihnen, dass Sie einen Teil der relevanten Struktur übersehen haben.

Nehmen Sie die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik:

Aus der Vogelperspektive ergibt sich Dynamik aus einem Vektorfeld$Z$auf irgendeiner Mannigfaltigkeit.

In der Newtonschen und Hamiltonschen Mechanik kann sie in koordinatenfreier Sprache über definiert werden

Ich weiß nicht, wie ich das im Fall der Euler-Lagrange-Gleichungen machen soll, und ich muss tatsächlich zugeben, dass ich die geometrische Struktur der Lagrange-Theorien nicht wirklich verinnerlicht habe (siehe zB arXiv:0908.1886 und dieses PDF ).

Im Moment begnüge ich mich damit, einfach zu einer Newtonschen Beschreibung zu gehen

Ich füge hier ein paar Kommentare hinzu, ich entschuldige mich, wenn sie nicht relevant sind.

Ich lese gerade Cartan for Beginners von Thomas Ivey und JM Landsberg. Im ersten Kapitel beschreiben sie, wie man Differentialgleichungen ohne Koordinaten "macht". Es ist sehr schön. Irgendwann ist die Mathematik von Exterior Differential Systems einen Blick wert, weil sie sehr daran interessiert sind, eine systematische Methode zur Umwandlung koordinatenbasierter Theorien in geometrisierte Modelle des Jet-Raums zu finden.

Aus physikalischer Sicht angesichts der Bedeutung der Lagrange-Formulierung der Dinge. Die Frage läuft darauf hinaus, wie man eine invariante Lagrange-Funktion konstruiert (oder vielleicht fast invariant bis zu einem Term, der an der Grenze verschwindet ...). Nun, wie konstruieren wir solche Dinge?

Wir müssen irgendwie einen Skalar extrahieren.

Für gruppenwertige Objekte benötigen wir eine Spur, um die Matrix zu entfernen und eine Zahl zu erhalten.

Für jeden kontravarianten Index benötigen wir einen kovarianten Index, mit dem wir kontrahieren können. Aus meiner Sicht ist die koordinatenfreie Version eines Vektors einfach ein mathematisches Objekt, das das benötigte Transformationsgesetz enthält. Es ist völlig gleichwertig mit der Arbeit mit Äquivalenzklassen von Vektoren, bei denen die Äquivalenz durch das Transformationsgesetz beurteilt wird. Aus mathematischer Sicht ist es viel einfacher, in Basen und Koordinaten zu denken. Aber wenn ich über den Aufbau einer Lagrange-Funktion nachdenke, muss ich zugeben, dass der Komponentenindex-Ansatz eine gewisse rechnerische Schönheit hat. Darüber hinaus haben einige der koordinierten Objekte viel äußere Algebra versteckt. Zum Beispiel sind die Formeln für die Ableitung des Duals zum Faraday-Tensor in Griffiths, wenn ich das richtig verstehe, eigentlich die Koordinatenformeln für die Koableitung des Duals des Faraday.

Natürlich haben wir auch Spinor-Indizes. Wir können gegen verschiedene Typen kontrahieren und auf diese Weise neue Skalare erhalten.

Ich denke, die eigentliche Frage ist, wie man Invarianten konstruiert.

Mathematiker haben ihre Axiome, um zu definieren, was ein Vektor ist, Physiker beginnen mit einem Vektor als einer physikalischen Größe, die eine Größe und eine Richtung hat. So definiert es zumindest Feynman in Band 1, 11-4 seiner Vorlesungen über Physik. Diese beiden Eigenschaften gehören zum Objekt und können unmöglich von den Koordinaten abhängen, die zu ihrer Beschriftung verwendet werden.

Bearbeiten:

Aus Bens Kommentar möchte ich hinzufügen, dass wir einen beliebigen Vektor als Standard auswählen und diesen verwenden, um die Größe und Richtung der restlichen Vektoren zu messen. Dieser Prozess kann unmöglich von dem Koordinatensystem abhängen, das wir verwenden, um die Komponenten eines Vektors zu kennzeichnen.