Eindeutigkeit der Helmholtz-Zerlegung?

Bei geeigneten Randbedingungen ist die Zerlegung eindeutig. Ohne sie geht es nicht.

Nehme an, dass$(\phi,{\bf G})$und$(\phi',{\bf G}')$sind zwei verschiedene Zerlegungen für dieselbe Funktion. Dann

$$\nabla(\phi-\phi')+\nabla\times({\bf G}-{\bf G}')=0.$$ Nehmen Sie die Divergenz beider Seiten, um das zu finden $$\nabla^2(\phi-\phi')=0.$$ Also für zwei verschiedene Zerlegungen das Skalarfeld $\phi$müssen sich durch eine harmonische Funktion unterscheiden $f$(also eins mit $\nabla^2f=0$). Darüber hinaus wird jede harmonische Funktion funktionieren – das heißt, es wird eine Möglichkeit geben, a auszuwählen ${\bf G}'$damit mitzugehen $\phi'$. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass wir wählen müssen ${\bf G}'$erfüllen $$\nabla\times({\bf G}'-{\bf G})=\nabla f.$$ Die rechte Seite dieses Ausdrucks ist divergenzfrei (weil es $\nabla^2f$), und jedes divergenzfreie Vektorfeld kann als Kräuselung eines anderen divergenzfreien Vektorfelds ausgedrückt werden, also ${\bf G'}-{\bf G}$existiert.

(Ein paar Anmerkungen: Diese letztere Tatsache ermöglicht es uns, das Vektorpotential für ein bestimmtes Magnetfeld zu definieren, insbesondere im Coulomb-Eichmaß. Um ehrlich zu sein, erinnere ich mich nicht an den Beweis, dass es eine Funktion gibt${\bf G}$wessen Locke ist${\bf B}$für jede divergenzfrei${\bf B}$. Ich erinnere mich, wie du das gezeigt hast, nachdem du so einen bekommen hast${\bf G}$, können Sie es divergenzfrei machen: Subtrahieren Sie einfach ab$\nabla q$wo$\nabla^2q=\nabla\cdot{\bf G}$. Das neue${\bf G}$wird die gleiche Kräuselung wie die alte haben und divergenzfrei sein.

Eine andere Sache: Komplikationen entstehen, wenn die Domäne, die wir in Betracht ziehen, nicht einfach verbunden ist. Sagen wir mal so.)

Die Antwort ist also, dass Sie, um die Zerlegung eindeutig zu machen, genügend starke Randbedingungen auferlegen müssen, damit keine harmonischen Funktionen existieren. Für ein kompaktes Gebiet ohne Rand (z. B. die Oberfläche einer Kugel) benötigen Sie keine Randbedingungen: Auf solchen Gebieten gibt es keine nicht konstanten harmonischen Funktionen. (Ein glatter Beweis dafür: Sie können beweisen, dass harmonische Funktionen niemals lokale Maxima oder Minima haben, aber eine nicht konstante Funktion in einem solchen Bereich muss sie haben - insbesondere muss sie irgendwo ein globales Maximum und ein globales Minimum haben.)

Für eine kompakte Region mit Begrenzung müssen Sie beides angeben$\phi$oder die normale Komponente von$\nabla\phi$an der Grenze. Für den guten alten unendlichen Raum müssen Sie das angeben$\phi$Nähern Sie sich Null (oder einer anderen gegebenen Funktion), wenn Sie zu einer unendlichen Entfernung tendieren.

Dass man ohne solche Randbedingungen in Schwierigkeiten gerät, lässt sich leicht nachprüfen. Nehmen Sie zum Beispiel die Funktionen

$$\phi=x, {\bf G}=z\hat{\bf j}.$$ Sie führen zu $${\bf H}=\nabla\phi+\nabla\times{\bf G}=\hat{\bf i}-\hat{\bf i}=0.$$ Dieses Paar kann also zu jeder Helmholtz-Zerlegung hinzugefügt werden, ohne das ursprüngliche Vektorfeld zu ändern.