Gültigkeit der Vektorzerlegung

Auflösung einer Kraft oder eines beliebigen Vektors im Allgemeinen in seine Komponenten entlang einer bestimmten Auswahl von Koordinatenvektoren$\{e_i\}$ist nicht spezifisch für eine bestimmte Annahme über das Medium/den Raum. Es ist zweckmäßig, einen orthonormalen Satz von Koordinatenvektoren zu verwenden (z${\hat i} \cdot {\hat j} = 0$im kartesischen Fall), aber selbst wenn die Vektoren nicht orthogonal sind, kann man immer transformieren und zu einem System kommen, das ist, siehe zB Gram-Schmidt-Orthogonalisierung .

Sie können jeden Vektor zusammen mit einem anderen auflösen - es ist nur das Skalarprodukt ($\vec F \cdot \hat e_j$). Aber die wichtige Frage in solchen Angelegenheiten ist, ein Koordinatensystem zu verwenden, das für das Problem nützlich wäre. zB für die Bewegung eines Teilchens auf einem Kreis können Sie ein kartesisches Koordinatensystem verwenden, Dinge entlang der Horizontalen und Vertikalen auflösen und alle Arten von$\cos \theta$s und$\sin \theta$s in deinen Gleichungen. Oder Sie verwenden radiale Koordinaten, die natürlich besser für das Problem geeignet sind. ($\vec r = r \hat r$, anstatt$r \cos \theta \hat i + r sin \theta \hat j$. Passen Sie jedoch auf, dass$\hat r$wechselt mit$\theta$.)

oder kurz gesagt, die Auflösung von Vektoren hängt nicht von den „Eigenschaften des Raums“ ab (ich lese das als Symmetrien des Problems). Aber ob das von Ihnen verwendete Koordinatensystem nützlich ist oder nicht, hängt sicherlich von diesen Symmetrien ab.

Solche Dinge wie Homogenität oder Isotropie sind wichtig, weil sie als Grundlage für das Relativitätsprinzip angenommen werden. Dieses Prinzip besagt, dass Sie jedes Koordinatensystem wählen können, egal wo es ist (da der Raum homogen ist) oder wie es gerichtet ist (da es isotrop ist), oder es stillsteht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Das Auflösen eines Vektors ist also nur ein mathematisches Problem, aber die Fähigkeit, ein Koordinatensystem zu wählen, ist ein physikalisches Problem und sicherlich auf der Grundlage von Homogenität und Isotropie.

Sie haben Recht, die Vektorzerlegung kümmert sich nicht um das Medium. Sie zerlegen Ihren Vektor in Einheitslängen-Basisvektoren in einem bestimmten Koordinatensystem, z. B. im kartesischen System,

Diese Zerlegung erfolgte ohne Bezugnahme auf irgendein Medium oder seine Transformationen. Auf diese Weise führen Sie ein universelles System ein, um Ihre Vektoren aufzuschlüsseln und mit anderen Vektoren zu vergleichen.