Wann genau bleibt eine Vektorkomponente ein Vektor?

Question

Wann genau bleibt eine Vektorkomponente ein Vektor?

Physik
Vektoren
Geometrie
Coulomb-Gesetz
Vektorfelder
elektrische Felder

Regen

Englisch ist nicht meine Muttersprache, also entschuldigen Sie bitte meine Fehler.

Betrachten Sie dieses Beispiel: Dies ist ein Klassiker: eine Übung, bei der Sie das elektrische Feld berechnen müssen, das von einem geladenen Ring um seine Achse erzeugt wird. Hier werde ich meine Argumentation darlegen, um Ihnen zu zeigen, was ich nicht verstehen kann.

Jede kleine Gebühr $dq$ auf dem Ring trägt zum elektrischen Feld bei. Sein elektrisches Feld ist offensichtlich ein Vektor: $D \vec{E} = \frac{D Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{u}$ $d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$
Das wissen wir aufgrund der Symmetrie, der $x$ Komponenten des Feldes verhalten sich "normal", was bedeutet, dass sie sich addieren, aber die $\bot$ Komponenten heben sich jeweils auf. Wir betrachten also nur die $x$ Komponente des Feldes für unsere Berechnungen: $D E_{X} = D \vec{E} C Ö S θ$ $dE_{x} = d\vec{E}\,cos\theta$ soweit ich weiß, zu sein $dE_{x}$ die Komponente eines anderen Vektors sollte nur eine Zahl sein . Ich kann jedoch auch sehen, dass die Simmetrie-Fakten nur die Richtung des Feldes konstant machen , aber die $dE_{x}$ Das Feld hat immer noch einen Vers, der von der Positivität oder Negativität der Ladungen des Rings abhängt, es kann also nicht nur eine Zahl sein. Mein Buch hingegen sieht so aus:
Es stellt die vor $x$ Feld als Funktion von Zahlen: $D E_{X} (X) = \frac{λ D l}{4 π ϵ_{0} R^{2}} C Ö S θ$ $dE_{x}(x) = \frac{\lambda dl}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}cos\theta$
Dann fährt es mit der Integration fort und betrachtet das letzte Feld immer noch als eine Funktion von x, aber als einen vollwertigen Vektor: $\vec{E} (X) = \frac{λ C Ö S θ \hat{u_{X}}}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \int_{0}^{l} D l$ $\vec{E}(x) = \frac{\lambda cos\theta \hat{u_{x}}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\int_{0}^{l} dl$

Jetzt komme ich hier echt durcheinander.

Zuerst haben wir eine Komponente isoliert $dE_{x}$ was kein Vektor war.
Diese Komponente ist jedoch immer noch ein Vektor, selbst wenn ihre Richtung festgelegt ist, oder vielleicht hat das Buch nur ihre Größe berücksichtigt. Wir betrachten nun das Feld als Funktion eines Vektors: $\vec{E}(x)$ das ist gleich dem Produkt zwischen der ursprünglichen Feldformel $d\vec{E}$ und das $cos\theta$ Wegen der Simmetrie.
Im endgültigen Ausdruck des Buches haben wir also das Feld als Vektor, aber auch das $cos\theta$ was die Isolierung war $x$ Komponente und dann auch der Einheitsvektor des Feldes genannt $\hat{u}_{x}$ !

Ist das nicht eine Wiederholung? Wie Sie sehen, bin ich wirklich verwirrt. Was bleibt in diesem Rechenprozess Vektor und was nicht? Wenn es nach mir ginge, ohne mich durch irgendein Buch verwirren zu lassen, würde ich einfach zu Schritt 2 der ersten Liste zurückkehren, zum Ausdruck

D E_{X} = D \vec{E} C Ö S θ

$dE_{x} = d\vec{E}\,cos\theta$ und fahren Sie einfach mit der Berechnung fort

D E_{X} = \frac{D Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{u} C Ö S θ

$dE_{x} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}\,cos\theta$ aber ich konnte nicht sagen, wie genau diese Vektoren interagieren.

Arthur

Beim Zerlegen des Vektors

(2, 3)

$(2, 3)$ in eine Summe von Vektoren parallel zu den Achsen,

(2, 0)

$(2, 0)$ ist ein Vektor, aber

2

$2$ ist nicht. Von unvorsichtigen Menschen werden beide als die horizontale Komponente des Vektors bezeichnet. Und für Leute, die nicht nachlässig sind, kann es variieren, welche von ihnen tatsächlich "die horizontale Komponente" genannt wird und wie die andere zu nennen ist.

Antworten (3)

Wann genau bleibt eine Vektorkomponente ein Vektor?

Beim Zerlegen des Vektors $(2, 3)$ in eine Summe von Vektoren parallel zu den Achsen, $(2, 0)$ ist ein Vektor, aber $2$ ist nicht. Von unvorsichtigen Menschen werden beide als die horizontale Komponente des Vektors bezeichnet. Und für Leute, die nicht nachlässig sind, kann es variieren, welche von ihnen tatsächlich "die horizontale Komponente" genannt wird und wie die andere zu nennen ist.

Noah · Answer 1

Zunächst einmal ein Ausdruck wie

D E_{X} = D \vec{E} \cos θ

$dE_{x} = d\vec{E}\,\cos\theta$ kann nie richtig sein. Wenn Sie rechts einen Vektor haben, haben Sie auch links einen Vektor. Der richtige Ausdruck wäre

D E_{X} = D \vec{E} \cdot {\hat{u}}_{X} = \frac{D Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \underset{\cos θ}{\underset{⏟}{(\hat{u} \cdot {\hat{u}}_{X})}} = \frac{D Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \cos θ

$dE_{x} = d\vec{E} \cdot \hat{u}_x = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \underbrace{(\hat{u} \cdot\hat{u}_x)}_{\cos\theta} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos\theta$ das ist in der Tat ein Scaler ("nur eine Zahl", wie Sie es nennen).

Was hier passiert, ist, dass wir den elektrischen Feldvektor wissen wollen

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{X} \\ E_{j} \\ E_{z} \end{matrix}) .

$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}.$ Allerdings wissen wir aus der Symmetrie, dass zwei dieser Einträge Null sein müssen.

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{X} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) .

$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$ Da wir nun bereits wissen, in welche Richtung das Feld zeigt (entlang der

x

$x$ -Achse), müssen wir nur die Größe von berechnen

E_{x}

$E_x$ um unser Ergebnis zu erhalten. Also extrahieren wir den Skalar

E_{x}

$E_x$ aus dem Vektor so:

E_{X} = {\hat{u}}_{X} \cdot \vec{E} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} E_{X} \\ E_{j} \\ E_{z} \end{matrix})

$E_x = \hat{u}_x \cdot \vec{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}$ Jetzt wollen wir den Beitrag eines Linienelements zum Gesamtfeld wissen, das Sie bereits angegeben haben

D \vec{E} = \frac{D Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{u}

$d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$ Aber wir brauchen nur die

x

$x$ -Komponente, die die Projektion von ist

d \vec{E}

$d\vec{E}$ auf die

x

$x$ -Achse, die bereits oben angegeben ist

D E_{X} = D \vec{E} \cdot {\hat{u}}_{X} = \frac{D Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \cos θ

$dE_{x} = d\vec{E} \cdot \hat{u}_x = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos\theta$ aus der Geometrie des Problems.

Dann Berechnung für $E_x$ geht weiter wie in deinem Beitrag. Am Ende wollen wir jedoch den elektrischen Feldvektor , also müssen wir die Größe von ersetzen $E_x$ zurück in einen Vektor, der nur ein hat $x$ -Komponente.

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{X} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = E_{X} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = E_{X} \cdot {\hat{u}}_{X}

$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = E_x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = E_x \cdot \hat{u}_x$

Diese Antwort ist nicht richtig, da $dE_x=d|\overrightarrow E| \cos\theta$ verliert das Vorzeichen $q$ , oder mit anderen Worten, dies ist der absolute Wert von $dE_x$ , nicht $dE_x$ selbst. Ich glaube, dieses Zeichen ist der Kern der Verwirrung in der ursprünglichen Frage.
@tobi_s Wie verliert es das Vorzeichen? Das Zeichen wird von der erfasst $\cos\theta$ Teil, da er Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann.
Ich bezweifle, dass dies der Kern der Verwirrung des OP war, aber ich stimme zu, dass es eine schlampige Notation war; jetzt sollte es klar sein.
@Kyle Ich glaube nicht, dass eine ladungsabhängige Neudefinition von Winkeln dem Originalposter in irgendeiner Weise hilft. Aber Ihr Standpunkt stimmt möglicherweise mit den negativen absoluten Werten überein, die Sie zu tolerieren scheinen :-) Wie auch immer, das ist jetzt umstritten, da @ noah seine Antwort verbessert hat.
@noah Es ist sicherlich der Punkt, an dem mich das OP verloren hat, aber Verwirrung kann auf viele und verschiedene Arten entstehen :) Danke, dass du die Notation trotzdem bereinigt hast.

Färcher · Answer 2

Ein Skalar kann nicht gleich einem Vektor sein.

Ab $d\vec{E} = \dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$ um an die Komponente in der zu gelangen $\hat x$ Richtung

$d\vec{E} \cdot \hat x = dE_{\rm x} = \dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u} \cdot \hat x =\dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos \theta$

João Vitor G. Lima · Answer 3

Die Komponente eines Vektors ist auch ein Vektor. Wenn wir einen Vektor haben $\vec{v}$ in (zum Beispiel) zwei Dimensionen können wir sagen, dass es die Summe zweier Komponenten ist, die ihre Projektionen auf die sind $x$ -Achse und $y$ -Achse. Mathematisch:

\vec{v} = {\vec{v}}_{X} + {\vec{v}}_{j}

$\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y$

In dem Problem, das Sie lösen:

D \vec{E} = D {\vec{E}}_{X} + D {\vec{E}}_{j}

$d\vec{E} = d\vec{E}_x + d\vec{E}_y$

Dies ist natürlich eine Vektorsumme. Die Komponente eines Vektors ist immer noch ein Vektor, kein Skalar. Wenn wir jedoch über den Betrag der Vektoren sprechen wollen:

D E^{2} = D E_{X}^{2} + D E_{j}^{2}

$dE^2 = dE_x^2 + dE_y^2$

Wir können dies auch in Bezug auf die Winkel schreiben. Wir würden finden:

D E_{X} = D E \cos θ

$dE_x = dE \cos\theta$

D E_{j} = D E Sünde θ

$dE_y = dE \sin\theta$

Also ist ein Vektor niemals gleich einem Skalar.

Dies verwendet eine andere Definition von "Komponente" als die anderen Antworten. In dieser Antwort sind die Komponente und der Einheitsvektor keine getrennten Einheiten; In den anderen Antworten ist die Komponente das Skalarprodukt eines Vektors und eines Einheitsvektors (und daher ein Skalar). Die Objekte, die Sie hier als "Komponenten" bezeichnen, werden in den anderen Antworten möglicherweise als Projektionen eines Vektors auf einen bestimmten Einheitsvektor bezeichnet . Machen Sie diese Unterscheidung bitte deutlich.

Wann genau bleibt eine Vektorkomponente ein Vektor?

Regen

Arthur

Antworten (3)

Noah

tobi_s

Kyle

Noah

tobi_s

tobi_s

Färcher

João Vitor G. Lima

wahrscheinlich_jemand

Gültigkeit der Vektorzerlegung

Wie erkennt man die Richtung des Einheitsnormalenvektors zu einer offenen Fläche?

Neutrale Punkte in einem Ladungssystem auf den Ecken eines Quadrats

Kraftverwirrung bei Ladung im Raum zwischen elektrischen Feldlinien

Unterschied zwischen dem Vektor des Physikers und dem Vektor des Mathematikers

Wann werden Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren senkrecht stehen? [geschlossen]

Wie kann ich die resultierende Bewegung dieser Situation mit Kreuzprodukt basierend auf Geometrie verstehen?

Was nützen Vektoren für Kräfte? [Duplikat]

Feldtheorie: Elektrisches Feld

reiner Dipol vs. physikalischer Dipol