Neutrale Punkte in einem Ladungssystem auf den Ecken eines Quadrats

Ich glaube, es gibt einen solchen Punkt.

Nehmen wir an, dass Einheitsgebühren in Punkten angesiedelt sind$[\pm 1,\pm 1]$einer Ebene mit Koordinaten$x,y$. Betrachten wir das Feld auf der Abszisse ($y=0$). Der$y$-Komponente des Feldes auf der Abszisse aufgrund einer Symmetrie Null ist. Es ist offensichtlich, dass die$x$-Komponente des Feldes bei der "linken Unendlichkeit" ($x\rightarrow-\infty$) ist nach links gerichtet ($E_x<0$)) (vorausgesetzt, die Ladungen sind positiv und stoßen eine positive Ladung ab). Nach meiner Berechnung ist das Feld am Punkt, sagen wir,$[-\frac{1}{2},0]$ist nach rechts gerichtet. Daher gibt es einen Zwischenpunkt auf der Abszisse dazwischen$-\infty$Und$-\frac{1}{2}$(also nicht in der Mitte), wo das Feld verschwindet. Symmetrie gibt drei weitere solcher Punkte.

Übrigens sieht es so aus, als ob der von @Haru Fujimura angegebene Ausdruck für das Feld nicht korrekt ist.

EDIT (18.09.2016): Also lasst uns das berechnen$x$-Komponente des Feldes am Punkt$[-\frac{1}{2},0]$, wobei angenommen wird, dass jede Ladung gleich +1 ist. Der Abstand von diesem Punkt bis zur linken unteren Ladung beträgt$\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, ist der relevante Kosinus$\frac{1}{\sqrt{5}}$, also der Beitrag dieser Gebühr zum$x$-Komponente des elektrischen Feldes ist$\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{4}{5}\approx 0.36$.

Die Entfernung vom Punkt$[-\frac{1}{2},0]$rechts unten Ladung ist$\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$, ist der relevante Kosinus$\frac{3}{\sqrt{13}}$, also der Beitrag dieser Gebühr zum$x$-Komponente des elektrischen Feldes ist -$\frac{3}{\sqrt{13}}\frac{4}{13}\approx -0.26$(das Minuszeichen entsteht, weil die Beiträge der linken und rechten Ladung entgegengesetzte Vorzeichen haben). Die Berechnung der Beiträge der Spitzenentgelte ergibt die gleichen Ergebnisse. Somit ist das Feld an dieser Stelle nach rechts gerichtet.

BEARBEITEN [19.09.2016]: Aus der bearbeiteten Frage geht hervor, dass der Punkt nicht nur in der Ebene des Quadrats, sondern auch innerhalb des Quadrats liegen muss. Um den Beweis anzupassen, kann man statt [-unendlich,0] einfach den Punkt [-1,0] betrachten: Es ist offensichtlich, dass das Feld in diesem Punkt nach links gerichtet ist. Daher gibt es einen Zwischenpunkt zwischen [-1,0] und [-1/2,0], dh innerhalb des Quadrats, wo das Feld verschwindet.

Es gibt vier zusätzliche Punkte innerhalb des Quadrats, wo das Feld verschwindet. Versuchen Sie, nach einem solchen Punkt zu lösen, vielleicht möchten Sie ihn numerisch lösen.

NEIN.

Stellen Sie sich das geometrisch vor.

wenn jede Ladung ein Feld erzeugt:$\vec{E}_i = {kq \over {|\vec{r}-\vec{r}_i|}^2} \hat{({\vec{r}-\vec{r}_i})}$man sieht, dass der Mittelpunkt des Quadrats der einzige Punkt ist, wo$\Sigma \vec{E}_i =0$. Dies liegt an der Tatsache, dass jeder Punkt links oder rechts, oben oder unten von der Mitte ein Feld ungleich Null hat. Nun würde die Richtung des Feldes davon abhängen, wo sich dieser Punkt befindet.

Vielleicht würde es Ihnen helfen, einige Feldlinien zu zeichnen, um zu verstehen, dass es hier am hilfreichsten wäre, eine Feldplot-Software zu finden, aber ich kenne keine, die ich empfehlen könnte.