Ich interessiere mich dafür zu lernen, wie man Geometrie und Topologie in der Physik verwendet. Könnte jemand ein Buch empfehlen, das diese Themen behandelt, vorzugsweise mit einigen Beweisen, physikalischen Anwendungen und Betonung auf geometrischer Intuition? Ich habe einen Einführungskurs in echte Analysis belegt, aber keine andere höhere Mathematik.
Als erstes muss gesagt werden, dass die Frage nicht wirklich spezifisch genug ist: Bewerbungen auf was genau suchen Sie? Für mich ist ein Buch über algebraische Geometrie und Spiegelsymmetrie und ihre Beziehung zur Spiegelsymmetrie, wie sie Physiker kennen, sehr relevant und interessant. Ich habe jedoch das Gefühl, dass dies nicht genau das ist, wonach Sie suchen.
Daher werde ich mich hauptsächlich an "Grundlagen" halten, die für jeden relevant erscheinen, der sich wirklich für Hochenergiephysik interessiert (natürlich auf der theoretischen Seite der Dinge), ohne davon auszugehen, dass der Leser wirklich an fortgeschrittenem Material interessiert ist. Ich werde jedoch einen Abschnitt mit "spezialisierten" Büchern hinzufügen, in denen einige esoterischere und/oder schwierigere Themen enthalten sind, sowie Bücher, die sich vollständig auf einen bestimmten Zweig der Physik konzentrieren (z. B. allgemeine Relativitätstheorie), anstatt das Allgemeine zu entwickeln mathematische Werkzeuge.
Beachten Sie abschließend, dass ich Standardeinführungstexte für Topologie und Geometrie weglasse, wenn ich der Meinung bin, dass der Text nicht wirklich speziell auf physikalische Anwendungen abzielt, da es so viele gibt, dass selbst mit diesem strengen Kriterium genug übrig bleibt. Los geht's (in alphabetischer Reihenfolge):
Baez & Muniain - Eichtheorien, Knoten und Schwerkraft
Interessantes Buch, das die Mathematik zusammen mit den relevanten physikalischen Theorien entwickelt: Das erste Kapitel befasst sich mit E&M und den relevanten mathematischen Begriffen wie Formen, das zweite Kapitel befasst sich mit der Eichtheorie, sowohl aus physikalischer als auch aus mathematischer Sicht, und das letzte Kapitel handelt von Allgemeine Relativitätstheorie und Lorentzsche Geometrie.
Bleecker - Eichtheorie und Variationsprinzipien
Beginnt mit einer sehr kurzen Behandlung von Tensorkalkül, Faserbündeln usw. und geht schnell zu physikalischen Themen wie Dirac-Feldern, Vereinigung (von Eichfeldern) und spontaner Symmetriebrechung über.
Bredon - Topologie und Geometrie
Nachdem ich die hinzugefügte Nachricht von QuanticMan gesehen hatte, in der um Antworten gebeten wurde, nicht davor zurückzuschrecken, über die Absichten des OP hinauszugehen und Bücher mit geometrischer Intuition zu empfehlen, fiel mir sofort dieses Buch ein. Im Vorwort sagt Bredon:
Während der größte Teil dieses Buches der algebraischen Topologie gewidmet ist, versuche ich, dem Leser nebenbei einige Einblicke in das schöne und wichtige Reich der glatten Mannigfaltigkeiten zu geben und den Grundsatz zu vermitteln, dass die algebraischen Werkzeuge in erster Linie für deren Verständnis gedacht sind die geometrische Welt.
Dies scheint perfekt auf die Rechnung zu passen, und ich kann es persönlich empfehlen. Beachten Sie jedoch, dass es sich um ein reines Mathematikbuch handelt: Es werden keine Anwendungen in der Physik vorgestellt, obwohl die Werkzeuge natürlich auch in der Physik relevant sind.
Burke - Angewandte Differentialgeometrie
Beginnt mit etwa 200 Seiten mathematischer Werkzeuge (von Tensoren bis zu Formen) und vertieft sich dann in Anwendungen: Von der Wärmegleichung bis zur Messung von Feldern und Gravitation.
Cahill - Physikalische Mathematik
Dies ist ein wirklich grundlegendes Buch, das viel mehr kann als nur Topologie und Geometrie: Es beginnt mit linearer Algebra, verbringt viel Zeit mit Differentialgleichungen und kommt schließlich zu zB Differentialformen.
Fecko - Differentialgeometrie und Lügengruppen für Physiker
Entwickelt die grundlegende Theorie der Mannigfaltigkeiten (der Schwerpunkt liegt nicht auf der Topologie) und behandelt schließlich eine Reihe von Themen, darunter klassische Mechanik (symplektische Geometrie), Eichtheorie und Spinoren. Es gibt auch ein (viel kürzeres) Vorlesungsskript von Fecko zum gleichen Thema.
Frankel - Die Geometrie der Physik: Eine Einführung
Dies ist ein großes Buch, das mathematisch viele Gruppen abdeckt, sich aber nicht wirklich auf physikalische Anwendungen konzentriert. Die Themen umfassen Differentialformen, Riemannsche Geometrie, Bündel, Spinoren, Eichtheorie und Homotopiegruppen.
Gilmore - Lügengruppen, Physik und Geometrie
Dieses Buch mit dem Untertitel „Eine Einführung für Physiker, Ingenieure und Chemiker“ könnte ein guter Ausgangspunkt für jemanden sein, der sich wirklich nur für einfachere, bodenständige Themen interessiert. Enthält ein Kapitel über "Wasserstoffatome", das interessant klingt.
Hamilton - Mathematische Eichtheorie: Mit Anwendungen auf das Standardmodell der Teilchenphysik
Ich habe persönlich die Vorlesungen von Professor Hamilton besucht, was ungefähr den ersten 450 Seiten dieses Buches entspricht, und kann dafür bürgen, dass alles in diesem Buch mit großer Sorgfalt dargestellt wird. Es mag für jemanden, der sich wirklich nur auf die physikalischen Anwendungen konzentrieren möchte, etwas überwältigend sein, aber viele der technischen Details des Hintergrundmaterials, die in anderen Texten oft weggelassen werden, werden hier vollständig dargestellt. Der zweite Teil konzentriert sich auf physikalische Anwendungen, hauptsächlich auf klassische Eichtheorien. Der Text setzt eine gewisse grundlegende Vertrautheit mit Mannigfaltigkeiten voraus, aber sonst nicht viel.
Isham - Moderne Differentialgeometrie für Physiker
Ein "Standard-Einführungsbuch" in die Differentialgeometrie, übersetzt in die Sprache der Physiker. Isham achtet darauf, darauf hinzuweisen, wo mathematische Begriffe, die er einführt, in der Physik verwendet werden, was schön für diejenigen ist, die es vorziehen, die physikalische Relevanz des Ganzen nicht aus den Augen zu verlieren. Behandelt auf ca. 300 Seiten alle Grundlagen bis hin zu Faserbündeln.
Jost - Geometrie und Physik
Kommt im ersten Teil, der der Mathematik gewidmet ist, schnell zu fortgeschritteneren Themen, einschließlich Modulräumen, Spinoren und Supermannigfaltigkeiten (alle innerhalb der ersten 100 Seiten). Der zweite Teil ist der Physik gewidmet und umfasst zB Sigma-Modelle und konforme Feldtheorie.
Mishchenko & Fomenko - Ein Kurs über Differentialgeometrie und Topologie
Obwohl dies so ziemlich ein "allgemeines Einführungsbuch" der Art ist, von der ich sagte, dass ich sie nicht aufnehmen würde, habe ich mich entschieden, diese Regel zu verletzen. Dieses Buch ist russisch, und der Stil russischer Lehrbücher ist meiner Meinung nach sehr körperlich und interessant für Physikstudenten. Außerdem konzentriert sich das Buch weder auf die Differentialgeometrie noch auf die Topologie, sondern deckt beides (kurz) ab, was auch für Physikstudenten gut ist.
Naber - Topologie, Geometrie und Eichfelder (zwei Bände)
Der erste Band hat ein niedliches Motivationskapitel, das fortgeschrittene Begriffe einführt (leider sind das normalerweise diejenigen, die sich in der Physik als relevant herausstellen) und zuerst Homologie und Homotopie (in umgekehrter Reihenfolge?!) Erörtert, bevor es zu Mannigfaltigkeiten und Bündeln geht (auch in umgekehrter Reihenfolge?!), endend mit der (physikalischen) Eichtheorie. Der zweite Band behandelt fortgeschrittenere Themen wie Chern-Klassen.
Nakahara - Geometrie, Topologie und Physik
Für 90% der Physiker das Buch der Wahl für mathematische Voraussetzungen für zB Eichtheorie, Stringtheorie etc. Ich persönlich finde es schrecklich, weil es nichts richtig erklärt, aber ich denke, es ist gut, Schlagworte zu lernen.
Nash & Sen - Geometrie und Topologie für Physiker
Dieses Buch ist nicht sehr körperlich, scheint aber sehr nett zu sein, wenn Sie wirklich versuchen, die Mathematik gut in den Griff zu bekommen. Es braucht seine Zeit, um (hoffentlich) die gesamte Theorie der Reihe nach zu entwickeln: Fundamentalgruppe, Homologie, Kohomologie und höhere Homotopiegruppen werden alle eingeführt, bevor Faserbündel und dann Morsetheorie und (topologische) Defekte behandelt werden (!!) . Das letzte Kapitel befasst sich mit Yang-Mills Theorien und diskutiert Instantonen und Monopole.
Von Westenholz - Differentialformen in der mathematischen Physik
Nach etwa 400 Seiten vorbereitender Mathematik (neben den Standardthemen Frobenius-Theorie und Blätterungen, was schön ist!) behandelt das Buch auf jeweils etwa 50 Seiten die klassische Mechanik und die relativistische Physik (einschließlich Strömungsmechanik).
Booss & Bleecker - Topologie und Analyse: Die Atiyah-Singer-Indexformel und eichtheoretische Physik
Thema für Fortgeschrittene --- sehr analytisch, mit vielen Informationen zu elliptischen Differentialoperatoren.
Cartan - Theorie der Spinoren
Konnte nicht widerstehen, das hier reinzustellen: Der Original-Klassiker über Spinoren, vom Entdecker höchstpersönlich. Irgendwie veraltet (z. B. in der Notation) und daher wahrscheinlich nicht sehr nützlich für moderne Studenten.
Deligne et al. - Quantum Field and Strings: A Course for Mathematicians (zwei Bände)
Die beiden Bände umfassen etwa 1500 Seiten, mit Beiträgen berühmter Mathematiker und Physiker (Deligne, Witten...). Deckt viele fortgeschrittene Themen der Physik aus mathematischer Sicht ab und enthält Übungen.
Dunajski - Solitonen, Instantons und Twistors
Da das OP Solitonen erwähnt, hielt ich es für interessant, dies zu erwähnen: Es wird davon ausgegangen, dass grundlegende Topologie und Geometrie bekannt sind, und es werden viele physikalisch interessante Themen behandelt (wie Monopole, Knicke, Spinoren auf Mannigfaltigkeiten usw.).
Levi-Civita - Die absolute Differentialrechnung
Ein weiterer Klassiker und eines der ersten Bücher über Tensoranalyse.
Nash - Differentialtopologie und Quantenfeldtheorie
Dieses Buch scheint für diejenigen faszinierend zu sein, die wirklich versuchen, in die schwierigeren Teile der Eichtheorie einzusteigen. Zu den behandelten Themen gehören topologische Feldtheorien (Knoteninvarianten, Floer-Homologie usw.), Anomalien und konforme Feldtheorie.
O'Neill - Semi-Riemannsche Geometrie mit Anwendungen zur Relativitätstheorie
Ein bekanntes Lehrbuch über die mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie.
Sachs & Wu - Allgemeine Relativitätstheorie für Mathematiker
Dasselbe wie das vorherige Buch
Ward & Wells - Twistor-Geometrie und Feldtheorie
Dieses Buch ist ganz der Theorie der Twistoren gewidmet: Im letzten Teil geht es um Anwendungen in der Eichtheorie.
Wenn Sie die Topologie umfassend lernen möchten, würde ich Munkres' Buch "Topology" empfehlen, das in Bezug auf einführendes Material ziemlich weit geht.
In Bezug auf das, was für die Physik nützlich sein könnte, würde ich jedoch entweder empfehlen:
Ich persönlich habe nicht viel von Nakahara gelesen, aber ich habe Gutes darüber gehört, obwohl es vielleicht zu viele Konzepte voraussetzt. Ich habe eine Auswahl von Naber gelesen und es scheint ziemlich gut geschrieben und verständlich zu sein und beginnt mit den ersten Prinzipien, aber auch hier konzentriert es sich möglicherweise nicht so sehr auf die Grundlagen, wenn Sie danach suchen.
Für einen neuen, prägnanten und sehr vollständigen Text mit Anwendungen in vielen Bereichen der Physik siehe Differential Topology and Geometry with Applications to Physics, von Nahmad-Achar (IOP Publishing). Dieses Buch stellt auf prägnante und direkte Weise den geeigneten mathematischen Formalismus und die Grundlagen der Differentialtopologie und Differentialgeometrie zusammen mit wesentlichen Anwendungen in vielen Bereichen der Physik vor.
Beeilen Sie sich nicht, ramanujan, lernen Sie zuerst grundlegende mathematische Methoden (zum Beispiel aus Sadri-Hassanis "Mathematical Physics"). Dann wäre Nakaharas "Geometry, Topology and Physics" die Standardreferenz für Sie, um Mathematik auf Graduiertenniveau zu lernen. Wenn Sie denken, dass es zu viel ist, haben Sie Recht; Dies ist ein sehr ernstes Thema für Fortgeschrittene. Aber wenn Sie schnell einige grundlegende Ideen herausgreifen möchten, sehen Sie sich das 10. Kapitel von Ryders „Quantenfeldtheorie“ an . Eine fortgeschrittene und physikalisch orientierte Diskussion findet sich in Colemans "Aspects of Symmetry".
Benutzer4552