Was ist ein Dual-/Kotangensraum?

Ich möchte etwas über duale Räume in Bezug auf die Quantenmechanik hinzufügen, da Sie „BHs“ erwähnt haben. Sie fragen sich vielleicht, warum wir duale Räume in der Quantenmechanik berücksichtigen müssen und wie dies mit BHs zusammenhängt.

Jeder reine (im Gegensatz zu gemischten ) Zustand eines Quantensystems kann durch ein Element eines Hilbert-Raums dargestellt werden$\mathcal H$. In der Physik bezeichnen wir solche Elemente üblicherweise mit einem Symbol wie$|\psi\rangle$, ein "ket." Jeder Hilbert-Raum ist per Definition mit einem inneren Produkt ausgestattet. Verwenden wir die Notation$(\cdot, \cdot)$für dieses innere Produkt, so dass das innere Produkt von zwei Kets$|\psi\rangle$und$|\phi\rangle$bezeichnet ist

$$(|\psi\rangle, |\phi\rangle)$$ und ist eine komplexe Zahl. Das Problem ist, dass dieser Ausdruck für uns Physiker unhandlich aussieht, und wir könnten ihn genauso gut auf irgendeine Weise abkürzen, also definieren wir stattdessen ein "bra-ket" wie folgt: $$\langle \psi|\phi\rangle = (|\psi\rangle, |\phi\rangle).$$ Viel sauberer, nicht wahr? Ok, aber was hat das mit dualen Räumen zu tun? Nun, nehmen wir an, dass bei jedem Ket$|\psi\rangle$, wir sollten eine Funktion definieren$B_{|\psi\rangle}$an$\mathcal H$durch $$B_{|\psi\rangle}(|\phi\rangle) = \langle \psi|\phi\rangle$$ Beachten Sie, dass diese Funktion ein Element des Hilbert-Raums aufnimmt und eine komplexe Zahl ausgibt; der Wert eines inneren Produkts. Beachten Sie außerdem, dass durch die Linearität des Skalarprodukts in seinem zweiten Schlitz für alle$|\psi\rangle, |\phi_1\rangle, |\phi_2\rangle\in\mathcal H$, und für alle$a_1,a_2\in\mathbb C$wir haben $$\begin{align} B_{|\psi\rangle}(a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle) &= \Big(|\psi\rangle,a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle\Big) \\ &= a_1\langle\psi|\phi_1\rangle + a_2\langle\psi|\phi_2\rangle \\ &= a_1 B_{|\psi\rangle}(|\phi_1\rangle) +a_2 B_{|\psi\rangle}(|\phi_2\rangle) \end{align}$$ Mit anderen Worten, für jeden$|\psi\rangle\in\mathcal H$, die Funktion$B_{|\psi\rangle}$Auf diese Weise konstruiert ist ein dualer Vektor.

Um die Schreibweise noch einmal abzukürzen, machen wir Physiker einfach die Definition

$$B_{|\psi\rangle} = \langle\psi|.$$ und wir nennen diesen dualen Vektor entsprechend$|\psi\rangle$der BH von$|\psi\rangle$seit der Definition von$B_{|\psi\rangle}$lässt uns schreiben $$\langle{\psi|}(|\phi\rangle) = \langle \psi|\phi\rangle$$ In diesem Fall sehen wir, dass das Einwirken auf ein Ket mit einem BH ein „Bra-Ket“ ergibt (wobei „Bra-Ket“ nur eine andere Art ist, inneres Produkt auszudrücken).

Wir sehen also, dass BHs tatsächlich duale Vektoren sind! Warum ist das alles notwendig? Nun, es ist nicht wirklich. Wir hätten ganz einfach auf Bras und Kets verzichten können, was Mathematiker tun, und wir hätten problemlos alle Ausdrücke in der Quantenmechanik schreiben können, die uns wichtig sind. Tatsächlich verwenden Weinbergs Texte zur Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie keine Bra-Ket-Notation, und wie Sie selbst sehen können, geht nichts kaputt.

Die meisten Physiker, mich eingeschlossen, sind jedoch der Meinung, dass die Bra-Ket-Notation intuitiv und rechnerisch nützlich ist, und wir können aus der obigen Diskussion ersehen, dass eine natürliche Art und Weise, die Notation zu formalisieren, in Bezug auf duale Räume und duale Vektoren besteht, also das ist der Grund wir stellen sie in diesem Zusammenhang vor.

Wie Sie wahrscheinlich wissen, der duale Raum eines Vektorraums$V$ist der Raum aller linearen Funktionen auf dem Raum$V$. Dies ist ein abstraktes mathematisches Konzept, aber es kann uns sehr schöne Möglichkeiten geben, Dinge in der Physik darzustellen.

Im Zusammenhang mit der Differentialgeometrie leben im Dualraum die Objekte, die als Kotangensvektoren oder kurz Kovektoren bezeichnet werden. Eine Funktion, die jedem Punkt ein lineares Funktional zuweist, ist eine Einsform, und sie lassen sich sehr natürlich über Pfade integrieren. Denken Sie in der Tat daran, dass wenn$M$eine glatte Mannigfaltigkeit ist (mit anderen Worten, ein allgemeiner Raum, der gekrümmt sein kann oder nicht), für jeden Punkt können wir uns die Menge aller Vektoren vorstellen. In Symbolen, wenn$p \in M$ist ein Punkt dieses Raumes,$T_pM$ist die Menge aller Vektoren at$p$. Der duale Raum zu$T_pM$ist der Kotangensraum$T^\ast_pM$das ist der Vektorraum der linearen Funktionale bei$p$.

Wenn, dann$x^i$ist der$i$-te Koordinate, die von einer Karte in der Umgebung zugewiesen wird$p$, die natürlichste Basis für$T^\ast_pM$ist die Menge der Differentiale$\left\{dx^i\right\}$. Damit wir irgendeine Ein-Form haben$\omega(p) = \omega_i(p) dx^i$.

Sehen wir uns vor diesem Hintergrund an, wie uns dies ermöglicht, Dinge in der Physik besser zu beschreiben. Stellen Sie sich ein Kraftfeld vor, wir stellen uns Kräfte normalerweise als Vektoren vor, weil sie eine Richtung beschreiben müssen, aber bei einer Verschiebung gibt uns eine Kraft die Arbeit, die geleistet wird, um ein Teilchen entlang der Verschiebung zu bewegen. Nun, Verschiebungen sind von Natur aus Vektoren, also können wir uns Kräfte als lineare Funktionale auf Vektoren und Kraftfelder als Einsformen vorstellen. Denken Sie darüber nach, ein Kraftfeld wäre dann$F(p)=F_i(p)dx^i$und einen Vektor bei gegeben$p$Wir würden haben$F(p)(v)=F_i(p)v^i$seit$dx^i(v)=v^i$. Es ist offensichtlich, dass dies die Arbeit gibt.

Denken Sie auch daran, dass ich gesagt habe, dass es natürlich ist, Eins-Formen über Pfade zu integrieren. Vorstellen$\gamma : I \subset \mathbb{R} \to M$ein Pfad ist, dann wäre die Arbeit, die beim Bewegen eines Partikels vom Startpunkt zum Endpunkt geleistet wird:

$$W=\int_\gamma F$$

Was sehr natürlich ist. Wir können uns also Kräfte als Einsformen vorstellen, die uns durch gegebene Vektoren Arbeit geben. Wenn wir zum Beispiel an das elektrische Feld denken, dann könnten wir es uns als die eine Form vorstellen, die uns gegebene Vektoren zur Änderung des elektrischen Potentials geben. Auch werden Eins-Formen normalerweise geometrisch als gedacht$n-1$Oberflächen ein$n$-Raum, dessen Wert bei Integration entlang einer Kurve die Anzahl der durchbohrten Flächen ist. Denken Sie ein wenig darüber nach, wie dies mit elektrischen Feldern und Potentialen zusammenhängt.

Mit anderen Worten: Mathematisch gesehen ist das Element des dualen Raums eine lineare Funktion und eine Zuordnung einer solchen Funktion an jedem Punkt eine Einsform. Dies ist nur allgemein und abstrakt. Sie sollten sich also überlegen: In welchen Momenten wird ein Objekt, das zur Beschreibung eines Phänomens verwendet wird, mit solchen abstrakten Entitäten gut beschrieben? Sie finden Kräfte, Felder und so weiter. Nachdem Sie die Kraft dieser Objekte an verschiedenen Orten gesehen haben, werden Sie verstehen, dass die "Bedeutung" eines dualen Raums wirklich davon abhängt, was Sie zu beschreiben versuchen.

Es ist schwierig, eine Antwort auf diese ziemlich mathematisch erscheinende Frage zu finden, ohne den Wikipedia-Artikel zu rezitieren, der bereits erklärt, was es ist. Wenn Sie Funktionen mit einer abelschen Gruppe als Kodomäne haben (z. B. Zahlen, die hinzugefügt werden können), dann erbt der Funktionenraum diese Eigenschaft und wird selbst zu einer abelschen Gruppe:

$\psi(v)=a,\ \phi(v)=b,\ \text{with}\ \ a+b=b+a,$

$(\psi+\phi)(v):=\psi(v)+\phi(v)\ \ \ \longrightarrow\ \ \ \psi+\phi=\phi+\psi.$

Der duale Raum besteht aus linearen Funktionen vom Vektorraum zu Zahlen. Die Domäne dieser Funktionen (der Vektorraum) hat Dinge wie Basen und ähnlich wie beim obigen Argument wird der duale Raum selbst zu einem Vektorraum. Abgesehen von dieser Skizze sehe ich nicht viel Sinn darin, mathematisch zu erklären, warum duale Räume existieren.

Wenn Sie etwas durch ein Objekt beschreiben, dann können Sie mathematisch Funktionen dieses Objekts zu anderen Objekten betrachten. Beim Modellbau der Physik verwendet man mathematische Strukturen, manchmal wilde Arten von Objekten, aber da es beim Experiment darum geht, Dinge miteinander zu vergleichen, muss man diese Objekte letztendlich immer auf Zahlen abbilden. Mit Vektoren lässt sich gut arbeiten, lineare Beziehungen gehören zu den einfachsten, und Längen und Winkel lassen sich über die duale Raumkonstruktion, die linearen Funktionale des Vektorraums, ausdrücken. Ich denke, von dieser Haltung aus ist es nicht verwunderlich, dass sie auftauchen.

Es gibt auch nichtlineare Karten, Determinanten oder was auch immer. Die Gesamtenergie des elektrischen Feldes$\vec E(x)$ist eine Zahl, die einem Vektor zugeordnet ist, aber auf kompliziertere Weise davon abhängt.